Exercício 6 Sejam T: V W e S: W U transformações lineares.
Mostre que se S circ T é sobrejetora então dim U >= dim W.

Passo 1

O enunciado fala de duas transformações lineares T: V → W e S: W → U, e diz que a composição S ∘ T é sobrejetora. Precisamos usar conceitos de posto (rank) de uma transformação linear e algumas propriedades básicas para chegar à relação entre as dimensões de W e U.

Passo 2

Como S ∘ T é sobrejetora, sua imagem é todo U. Logo, pelo fato de posto de uma aplicação linear ser a dimensão da sua imagem, temos
posto(S circ T)=dim(Im(Scirc T))=dim U

Passo 3

Sabendo que Im(S ∘ T) ⊆ Im(S), concluímos que o posto de S ∘ T não pode ser maior que o posto de S. Assim,
posto(Scirc T)<=posto(S)
Substituindo o resultado do passo anterior obtemos
dim U<=posto(S)

Passo 4

Por fim, usamos que o posto de qualquer transformação linear não ultrapassa a dimensão do seu espaço de domínio. Como S: W → U tem domínio W, vale
posto(S)<=dim W

Passo 5

Juntando as desigualdades dim U<=posto(S)<=dim W, obtemos
dim U<=dim W

Resposta

dim U<=dim W

Exercícios relacionados