Exercício 6 Sejam
e
transformações lineares.
Mostre que se
é sobrejetora então
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado fala de duas transformações lineares T: V → W e S: W → U, e diz que a composição S ∘ T é sobrejetora. Precisamos usar conceitos de posto (rank) de uma transformação linear e algumas propriedades básicas para chegar à relação entre as dimensões de W e U.
Passo 2
Como S ∘ T é sobrejetora, sua imagem é todo U. Logo, pelo fato de posto de uma aplicação linear ser a dimensão da sua imagem, temos
Passo 3
Sabendo que Im(S ∘ T) ⊆ Im(S), concluímos que o posto de S ∘ T não pode ser maior que o posto de S. Assim,
Substituindo o resultado do passo anterior obtemos
Passo 4
Por fim, usamos que o posto de qualquer transformação linear não ultrapassa a dimensão do seu espaço de domínio. Como S: W → U tem domínio W, vale
Passo 5
Juntando as desigualdades
, obtemos