Exercício 7 Sejam as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 0 & -1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 7 & 3 \\\\ -4 & 5\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\ 7 & 3 & 1 \\\\ -4 & 5 & \frac{1}{2}\end{array}\right] \quad D= \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\\\ -4 & 6 & 5\end{array}\right] \quad E=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 7 & 3\end{array}\right] \quad F=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & -2 \\\\ 4 & 4 & -4\end{array}\right] \quad G=\left[\begin{array}{cc}-\frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\\\ 1 & 0\end{array}\right] \quad H=\left[\begin{array}{c}4 \\\\ -19 \\\\ 26\end{array}\right] Calcule os seguintes produtos de matrizes
E \cdot G

Passo 1

O enunciado pede o produto da matriz E pela matriz G. Temos
E = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 7 & 3\end{pmatrix},\quad G = \begin{pmatrix}-\tfrac{3}{7} & \tfrac{1}{7}\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Como ambas são 2\times2, o produto E\cdot G está bem definido e será também uma matriz 2\times2. Para cada entrada (i,j) do produto, usamos o produto escalar da linha i de E com a coluna j de G.

Passo 2

A fórmula geral para o elemento (i,j) de E\cdot G é
(E\,G)_{ij} \;=\; \sum_{k=1}^{2} E_{ik}\,G_{kj}.
Assim, calculamos cada uma das quatro entradas:

Passo 3

Cálculo das entradas:
(E\,G)_{11} = E_{11}G_{11} + E_{12}G_{21} =0\cdot\bigl(-\tfrac{3}{7}\bigr) + 1\cdot 1 = 1,
(E\,G)_{12} = E_{11}G_{12} + E_{12}G_{22} =0\cdot\tfrac{1}{7} + 1\cdot 0 = 0,
(E\,G)_{21} = E_{21}G_{11} + E_{22}G_{21} =7\cdot\bigl(-\tfrac{3}{7}\bigr) + 3\cdot 1 = -3 + 3 = 0,
(E\,G)_{22} = E_{21}G_{12} + E_{22}G_{22} =7\cdot\tfrac{1}{7} + 3\cdot 0 = 1.

Resposta

E \cdot G = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

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