Exercício 7 Sejam as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 0 & -1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 7 & 3 \\\\ -4 & 5\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\ 7 & 3 & 1 \\\\ -4 & 5 & \frac{1}{2}\end{array}\right] \quad D= \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\\\ -4 & 6 & 5\end{array}\right] \quad E=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 7 & 3\end{array}\right] \quad F=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & -2 \\\\ 4 & 4 & -4\end{array}\right] \quad G=\left[\begin{array}{cc}-\frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\\\ 1 & 0\end{array}\right] \quad H=\left[\begin{array}{c}4 \\\\ -19 \\\\ 26\end{array}\right] Calcule os seguintes produtos de matrizes
C \cdot F

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 7 & 3 & 1\\\\ -4 & 5 & \tfrac12 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad F = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 3 & -2\\\\ 4 & 4 & -4 \end{pmatrix}
e pede o produto C\cdot F. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes, usando a definição
(CF)_{ij} = \sum_{k=1}^{3} C_{ik}\,F_{kj}.

Passo 2

Verificamos as dimensões: C e F são ambas 3\times3, logo o produto está definido e resulta em uma matriz 3\times3.

Passo 3

Para a primeira linha de CF, usamos a linha (0,1,0) de C e as colunas de F:
(CF)_{11} = 0\cdot0 + 1\cdot(-1) + 0\cdot4 = -1, \quad (CF)_{12} = 0\cdot1 + 1\cdot3 + 0\cdot4 = 3,
(CF)_{13} = 0\cdot0 + 1\cdot(-2) + 0\cdot(-4) = -2.

Passo 4

Para a segunda linha de CF, usamos (7,3,1) de C:
(CF)_{21} = 7\cdot0 + 3\cdot(-1) + 1\cdot4 = 1, \quad (CF)_{22} = 7\cdot1 + 3\cdot3 + 1\cdot4 = 20,
(CF)_{23} = 7\cdot0 + 3\cdot(-2) + 1\cdot(-4) = -10.

Passo 5

Para a terceira linha de CF, usamos \bigl(-4,5,\tfrac12\bigr) de C:
(CF)_{31} = -4\cdot0 + 5\cdot(-1) + \tfrac12\cdot4 = -3, \quad (CF)_{32} = -4\cdot1 + 5\cdot3 + \tfrac12\cdot4 = 13,
(CF)_{33} = -4\cdot0 + 5\cdot(-2) + \tfrac12\cdot(-4) = -12.

Resposta

C\cdot F = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2\\\\ 1 & 20 & -10\\\\ -3 & 13 & -12 \end{pmatrix}.

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