Exercício 3. Sejam
A=[rrr2 & -1 & 3 0 & 4 & 5 -2 & 1 & 4], B=[rrc8 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & -7 & 6], C=[ccc0 & -2 & 3 1 & 7 & 4 3 & 5 & 9], a=4 e b=-7
Mostre que
(A B) C=A(B C)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para as matrizes
A=2 & -1 & 3 0 & 4 & 5 -2 & 1 & 4, B=8 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & -7 & 6, C=0 & -2 & 3 1 & 7 & 4 3 & 5 & 9,
vale a associatividade (AB)C = A(BC). Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes para calcular primeiro AB e BC, e depois multiplicar pelas matrizes restantes.

Passo 2

Calculamos AB pelos produtos de linhas de A por colunas de B. O resultado é
AB = 28 & -28 & 6 20 & -31 & 38 0 & -21 & 36

Passo 3

Agora multiplicamos AB por C. Seguindo o mesmo procedimento, obtemos
(AB)C = -10 & -222 & 26 83 & -67 & 278 87 & 33 & 240

Passo 4

Em seguida calculamos BC. Fazendo a soma dos produtos de linhas de B por colunas de C, chega-se a
BC = -18 & -62 & -33 7 & 17 & 22 11 & -27 & 38

Passo 5

Por fim multiplicamos A por BC. Isso dá
A(BC) = -10 & -222 & 26 83 & -67 & 278 87 & 33 & 240

Passo 6

Comparando
(AB)C = -10 & -222 & 26 83 & -67 & 278 87 & 33 & 240 e A(BC) = -10 & -222 & 26 83 & -67 & 278 87 & 33 & 240 ,
vemos que as duas matrizes coincidem elemento a elemento.

Resposta

Como (AB)C = A(BC), a propriedade associativa está verificada para as matrizes dadas.

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