Exercício 2: Sejam os seguintes números:
e
, e considere um sistema de ponto flutuante com mantissa de 4 dígitos e base decimal. Mostre que:
Passo 1
O enunciado dá os números
,
e
e pede para mostrar que, num sistema de ponto flutuante com mantissa de 4 dígitos na base decimal, vale
Informações relevantes que vamos usar:
- Mantissa tem 4 dígitos significativos em base decimal (ou seja, só são guardados 4 dígitos significativos).
- Assumo o modo de arredondamento para o mais próximo (round-to-nearest) ao reduzir para 4 dígitos; as decisões de arredondamento seguirão esse critério.
- Sempre que uma operação produzir mais do que 4 dígitos significativos, arredondamos o resultado para 4 dígitos antes de prosseguir (como acontece em implementações de ponto flutuante quando cada operação é seguida por normalização/arredondamento).
Passo 2
Explicando como representar e arredondar (de forma prática e concreta):
- Um número em ponto flutuante normalizado com 4 dígitos significativos base 10 tem a forma
onde
.
- Arredondamento para 4 dígitos significa: observar o quinto dígito; se ele for maior ou igual a 5 arredonda-se o quarto dígito para cima, senão mantém-se.
- Na prática, para números como
(cinco dígitos significativos), arredondamos para 4 dígitos significativos dando (porque o quinto dígito é , que força arredondamento).
Passo 3
Calcular
exatamente e depois arredondar para a mantissa de 4 dígitos:
Agora arredondando
para 4 dígitos significativos: os primeiros 4 dígitos são
e o quinto é
, então arredonda-se para
Passo 4
Calcular
efetuando a multiplicação com o valor arredondado de
, e depois arredondar o produto:
Produto exato (usando como soma arredondada):
Produto exato (usando
Agora arredondar esse resultado para 4 dígitos significativos: os quatro primeiros dígitos são
e o quinto é
, logo arredonda-se para cima, obtendo
Passo 5
Agora calcular
e arredondar o produto (cada multiplicação é seguida de arredondamento para 4 dígitos):
Produto exato:
Produto exato:
Arredondando para 4 dígitos significativos: os quatro primeiros dígitos são
e o quinto é
, portanto arredonda-se para
Passo 6
Calcular
e arredondar:
Produto exato:
Produto exato:
Arredondando para 4 dígitos significativos: os quatro primeiros dígitos são
e o quinto é
, então fica
Passo 7
Somar os dois produtos arredondados e arredondar o resultado (se necessário):
Esse resultado já tem 4 dígitos significativos, então
Passo 8
Comparação final:
Portanto, no sistema de ponto flutuante considerado houve perda de associatividade e