Questão 3. Se a, b, c e d são números reais pertencentes ao intervalo [0, \pi] que satisfazem \operatorname{sen} a+7 \operatorname{sen} b=4(\operatorname{sen} c+2 \operatorname{sen} d) e \cos a+7 \cos b=4(\cos c+2 \cos d). Sabendo que o valor da expressāo \frac{\cos (a-d)}{\cos (b-c)} pode ser escrito da forma \left(\frac{m}{n}\right), com m e n números inteiros positivos primos entre si, então o valor de (m+n) é igual a:
$
\mathbf{A}() 9
\mathbf{B}() 10
\mathbf{C}() 11
\mathbf{D}() 12
\mathbf{E}() 13
$
Passo 1
O enunciado dá quatro números reais a,b,c,d\in[0,\pi] que satisfazem as duas igualdades
O que nos é pedido é o valor da expressão \dfrac{\cos(a-d)}{\cos(b-c)}. O enunciado afirma que esse quociente pode ser escrito na forma \dfrac{m}{n} com m,n inteiros positivos primos entre si, e pede o valor de m+n.
Informações relevantes dadas:
Todas as funções trigonométricas são avaliadas em ângulos no intervalo [0,\pi].
Temos duas equações lineares que envolvem seno e cosseno de a,b,c,d.
Queremos uma razão envolvendo cossenos de diferenças: \cos(a-d) e \cos(b-c).
Passo 2
Ideia útil (explicação didática): unir as duas equações transformando-as em uma única igualdade vetorial no plano. Para isso lembramos que o número complexo \mathrm{e}^{i\theta} tem parte real \cos\theta e parte imaginária \sin\theta. Assim, as duas equações (uma para seno e outra para cosseno) são equivalentes à igualdade dos vetores (ou números complexos)
Explicando passo a passo: comparar partes reais dá a equação com cossenos; comparar partes imaginárias dá a equação com senos. Agrupando essas duas igualdades numa só é mais prático lidar com os módulos/argumentos depois.
Passo 3
Reorganizar a igualdade complexa de modo a ter duas diferenças à esquerda e à direita:
Motivação didática: agora temos duas diferenças de vetores iguais; tomando o módulo (comprimento) de cada lado e elevando ao quadrado obtemos uma relação entre cossenos das diferenças de ângulo, pois o produto escalar aparece naturalmente. Vamos usar a identidade geral, válida para quaisquer vetores complexos/unidade:
Como os dois lados da equação complexa são exatamente iguais, seus módulos ao quadrado são iguais. Igualando as expressões dos Passos 4 e 5:
65-16\cos(a-d)=65-56\cos(c-b).
Simplificando:
16\cos(a-d)=56\cos(c-b).
Dividindo por 16\cos(c-b) (assumindo \cos(c-b)\neq 0; se \cos(c-b)=0 então também \cos(a-d)=0 e a razão abaixo fica bem definida pelo limite — o texto do problema garante a forma racional), obtemos