Questão 3. Se a, b, c e d são números reais pertencentes ao intervalo [0, \pi] que satisfazem \operatorname{sen} a+7 \operatorname{sen} b=4(\operatorname{sen} c+2 \operatorname{sen} d) e \cos a+7 \cos b=4(\cos c+2 \cos d). Sabendo que o valor da expressāo \frac{\cos (a-d)}{\cos (b-c)} pode ser escrito da forma \left(\frac{m}{n}\right), com m e n números inteiros positivos primos entre si, então o valor de (m+n) é igual a:
$
\mathbf{A}() 9 \mathbf{B}() 10
\mathbf{C}() 11 \mathbf{D}() 12
\mathbf{E}() 13 $

Passo 1

O enunciado dá quatro números reais a,b,c,d\in[0,\pi] que satisfazem as duas igualdades
\operatorname{sen} a+7\operatorname{sen} b=4(\operatorname{sen} c+2\operatorname{sen} d)
\cos a+7\cos b=4(\cos c+2\cos d).
O que nos é pedido é o valor da expressão \dfrac{\cos(a-d)}{\cos(b-c)}. O enunciado afirma que esse quociente pode ser escrito na forma \dfrac{m}{n} com m,n inteiros positivos primos entre si, e pede o valor de m+n.
Informações relevantes dadas:
  • Todas as funções trigonométricas são avaliadas em ângulos no intervalo [0,\pi].
  • Temos duas equações lineares que envolvem seno e cosseno de a,b,c,d.
  • Queremos uma razão envolvendo cossenos de diferenças: \cos(a-d) e \cos(b-c).

Passo 2

Ideia útil (explicação didática): unir as duas equações transformando-as em uma única igualdade vetorial no plano. Para isso lembramos que o número complexo \mathrm{e}^{i\theta} tem parte real \cos\theta e parte imaginária \sin\theta. Assim, as duas equações (uma para seno e outra para cosseno) são equivalentes à igualdade dos vetores (ou números complexos)
\mathrm{e}^{ia}+7\mathrm{e}^{ib}=4\mathrm{e}^{ic}+8\mathrm{e}^{id}.
Explicando passo a passo: comparar partes reais dá a equação com cossenos; comparar partes imaginárias dá a equação com senos. Agrupando essas duas igualdades numa só é mais prático lidar com os módulos/argumentos depois.

Passo 3

Reorganizar a igualdade complexa de modo a ter duas diferenças à esquerda e à direita:
\mathrm{e}^{ia}-8\mathrm{e}^{id}=4\mathrm{e}^{ic}-7\mathrm{e}^{ib}.
Motivação didática: agora temos duas diferenças de vetores iguais; tomando o módulo (comprimento) de cada lado e elevando ao quadrado obtemos uma relação entre cossenos das diferenças de ângulo, pois o produto escalar aparece naturalmente. Vamos usar a identidade geral, válida para quaisquer vetores complexos/unidade:
|u-v|^2 = |u|^2+|v|^2-2\operatorname{Re}(u\overline{v}).

Passo 4

Calcular o quadrado do módulo do lado esquerdo. Usamos u=\mathrm{e}^{ia} e v=8\mathrm{e}^{id}:
\begin{aligned} \left|\mathrm{e}^{ia}-8\mathrm{e}^{id}\right|^2 &=|\mathrm{e}^{ia}|^2+|8\mathrm{e}^{id}|^2-2\operatorname{Re}\big(\mathrm{e}^{ia}\overline{8\mathrm{e}^{id}}\big)\\[4pt] &=1+64-2\cdot 8\operatorname{Re}\big(\mathrm{e}^{i(a-d)}\big)\\[4pt] &=65-16\cos(a-d). \end{aligned}
Expliquei cada termo: |\mathrm{e}^{i\theta}|^2=1, |8\mathrm{e}^{id}|^2=64, e \operatorname{Re}(\mathrm{e}^{i(a-d)})=\cos(a-d).]

Passo 5

Calcular o quadrado do módulo do lado direito. Agora u=4\mathrm{e}^{ic} e v=7\mathrm{e}^{ib}:
\begin{aligned} \left|4\mathrm{e}^{ic}-7\mathrm{e}^{ib}\right|^2 &=|4\mathrm{e}^{ic}|^2+|7\mathrm{e}^{ib}|^2-2\operatorname{Re}\big(4\mathrm{e}^{ic}\overline{7\mathrm{e}^{ib}}\big)\\[4pt] &=16+49-2\cdot 4\cdot 7\operatorname{Re}\big(\mathrm{e}^{i(c-b)}\big)\\[4pt] &=65-56\cos(c-b). \end{aligned}
Observação: \operatorname{Re}(\mathrm{e}^{i(c-b)})=\cos(c-b).]

Passo 6

Como os dois lados da equação complexa são exatamente iguais, seus módulos ao quadrado são iguais. Igualando as expressões dos Passos 4 e 5:
65-16\cos(a-d)=65-56\cos(c-b).
Simplificando:
16\cos(a-d)=56\cos(c-b).
Dividindo por 16\cos(c-b) (assumindo \cos(c-b)\neq 0; se \cos(c-b)=0 então também \cos(a-d)=0 e a razão abaixo fica bem definida pelo limite — o texto do problema garante a forma racional), obtemos
\frac{\cos(a-d)}{\cos(c-b)}=\frac{56}{16}=\frac{7}{2}.
Como \cos(c-b)=\cos(b-c), podemos escrever finalmente
\frac{\cos(a-d)}{\cos(b-c)}=\frac{7}{2}.

Passo 7

Interpretação final: a fração \dfrac{m}{n} pedida é \dfrac{7}{2}. Os inteiros m e n são 7 e 2, que são primos entre si. Portanto m+n=7+2=9.

Resposta

9

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