Questão 4. Sejam
e
os ângulos tais que
. Se
, determine o valor de
A 1
B 2
C
D
E 5
A 1
B 2
C
D
E 5
Passo 1
O enunciado dá duas informações importantes:
-
. -
.
O que se pede:
- Determinar o valor de
.
Vou listar explicitamente os dados relevantes que vou usar depois:
- Denotar
e . Então a condição é . - Os ângulos
satisfazem , então .
Passo 2
Primeiro vou relacionar
com senos e cossenos para extrair uma identidade útil. Lembre que
Portanto
Pela hipótese
, temos
Passo 3
Agora uso a fórmula da soma de cossenos:
Substituindo
nessa fórmula,
Mas
, então
. Igualando as duas expressões:
Portanto a expressão pedida fica
Ou seja, para qualquer solução do enunciado vale a identidade simples
Passo 4
A relação anterior reduz o problema a encontrar
. Vou escrever
em termos de
e
para ver se o valor fica determinado apenas pela condição
.
Usando
(válido quando consideramos o sinal adequado do cosseno), obtemos
Pela identidade já obtida
, segue
Como
, podemos expandir o denominador:
Mas
não é fixado apenas por
: para um produto fixo
a soma
pode variar (por exemplo, se
então
; se
fica muito grande e
então
cresce sem limite). Logo o denominador
não é determinado unicamente pela informação
, e por consequência
(e
) também não é um único número fixo — depende de como
e
se repartem respeitando
.
Passo 5
Apesar de não haver um único valor, dá para obter um intervalo possível e o caso extremo máximo. Usei uma desigualdade simples para achar o máximo possível de
.
Pelo fato de
(explico: como
e em um triângulo não podem existir dois ângulos obtusos simultaneamente, os tangentes correspondentes são positivos), tem-se
(pela desigualdade de AM-GM aplicada a
e
). Assim
Portanto
O valor
é obtido quando a desigualdade fica em igualdade, isto é quando
e, como
, isso ocorre em
(equivalente a
). Por outro lado, levando
e
, o denominador cresce sem limite e
. Assim o conjunto de valores possíveis para
(isto é, para
) é
Resposta
Não existe um único valor; os possíveis valores de
formam o intervalo
, com máximo
quando
(i.e.
).