Questão 4. Sejam A, B e C os ângulos tais que A+B+C=\pi. Se \tan A \cdot \tan B=2, determine o valor de \cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}
A 1
B 2
C
D
E 5

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes:
  • A+B+C=\pi.
  • \tan A\cdot\tan B=2.
O que se pede:
  • Determinar o valor de \cos A\cos B\cos C.
Vou listar explicitamente os dados relevantes que vou usar depois:
  • Denotar x=\tan A e y=\tan B. Então a condição é xy=2.
  • Os ângulos A,B,C satisfazem A+B+C=\pi, então C=\pi-(A+B).

Passo 2

Primeiro vou relacionar \tan A\cdot\tan B com senos e cossenos para extrair uma identidade útil. Lembre que
\tan A=\frac{\sin A}{\cos A},\qquad \tan B=\frac{\sin B}{\cos B}.
Portanto
\tan A\cdot\tan B=\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}.
Pela hipótese \tan A\cdot\tan B=2, temos
\sin A\sin B=2\cos A\cos B.

Passo 3

Agora uso a fórmula da soma de cossenos:
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B.
Substituindo \sin A\sin B=2\cos A\cos B nessa fórmula,
\cos(A+B)=\cos A\cos B-2\cos A\cos B=-\cos A\cos B.
Mas A+B=\pi-C, então \cos(A+B)=\cos(\pi-C)=-\cos C. Igualando as duas expressões:
-\cos C=-\cos A\cos B \quad\Longrightarrow\quad \cos C=\cos A\cos B.
Portanto a expressão pedida fica
\cos A\cos B\cos C=(\cos A\cos B)\cos C=\cos C\cdot\cos C=\cos^2 C.
Ou seja, para qualquer solução do enunciado vale a identidade simples
\boxed{\cos A\cos B\cos C=\cos^2 C.}

Passo 4

A relação anterior reduz o problema a encontrar \cos^2 C. Vou escrever \cos C em termos de \tan A e \tan B para ver se o valor fica determinado apenas pela condição xy=2.
Usando \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} (válido quando consideramos o sinal adequado do cosseno), obtemos
\cos A\cos B=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}\,\sqrt{1+y^2}}=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}.
Pela identidade já obtida \cos C=\cos A\cos B, segue
\cos^2 C=\frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)}.
Como xy=2, podemos expandir o denominador:
(1+x^2)(1+y^2)=1+x^2+y^2+x^2y^2=1+(x^2+y^2)+(xy)^2.
Mas x^2+y^2 não é fixado apenas por xy: para um produto fixo xy=2 a soma x^2+y^2 pode variar (por exemplo, se x=y=\sqrt{2} então x^2+y^2=4; se x fica muito grande e y=2/x então x^2+y^2 cresce sem limite). Logo o denominador (1+x^2)(1+y^2) não é determinado unicamente pela informação xy=2, e por consequência \cos^2 C (e \cos A\cos B\cos C) também não é um único número fixo — depende de como x e y se repartem respeitando xy=2.

Passo 5

Apesar de não haver um único valor, dá para obter um intervalo possível e o caso extremo máximo. Usei uma desigualdade simples para achar o máximo possível de \cos^2 C.
Pelo fato de x,y>0 (explico: como xy=2>0 e em um triângulo não podem existir dois ângulos obtusos simultaneamente, os tangentes correspondentes são positivos), tem-se
x^2+y^2\ge 2xy=4
(pela desigualdade de AM-GM aplicada a x^2 e y^2). Assim
(1+x^2)(1+y^2)=1+x^2+y^2+x^2y^2\ge 1+4+(xy)^2=1+4+4=9.
Portanto
\cos^2 C=\frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)}\le\frac{1}{9}.
O valor \dfrac{1}{9} é obtido quando a desigualdade fica em igualdade, isto é quando x^2=y^2 e, como xy=2, isso ocorre em x=y=\sqrt{2} (equivalente a A=B). Por outro lado, levando x\to\infty e y=2/x, o denominador cresce sem limite e \cos^2 C\to 0. Assim o conjunto de valores possíveis para \cos^2 C (isto é, para \cos A\cos B\cos C) é
0<\cos A\cos B\cos C\le\frac{1}{9}.

Resposta

Não existe um único valor; os possíveis valores de \cos A\cos B\cos C formam o intervalo (0,\,1/9], com máximo \,1/9 quando \tan A=\tan B=\sqrt{2} (i.e. A=B).

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