Exercício 8 Sejam T: V V um operador linear e alpha uma base de V. Suponha que 0 não é auto-valor de T e mostre que det[T]alpha^alpha neq 0.

Passo 1

O exercício diz: temos um operador linear T: V → V em um espaço vetorial de dimensão finita e uma base α de V; sabemos que 0 não é autovalor de T. Precisamos usar conceitos de autovalor, núcleo e determinante de matriz baseada em α para mostrar que o determinante de [T]αα é diferente de zero.

Passo 2

Como 0 não é autovalor de T, pela definição, não existe vetor não-nulo v em V tal que T(v)=0·v=0. Isso significa que N(T), o núcleo de T, contém apenas o vetor zero. Logo, T é injetora.
Em espaço vetorial de dimensão finita, um operador linear injetor é também sobrejetor, portanto T é bijetora. Um operador bijetor tem inversa linear T^{-1}: V→V.

Passo 3

Se T é invertível então sua matriz [T]αα em qualquer base α também é invertível. A propriedade fundamental de matrizes diz que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é não nulo.
Portanto, concluímos que det [T]alpha^alpha neq 0.

Passo 4

Observação alternativa: por definição de polinômio característico, 0 não ser raiz de pT(λ)=det([T]alpha^alpha-λI) implica det([T]alpha^alpha)=pT(0)neq0.

Resposta

Como T é invertível (já que 0 não é autovalor), sua matriz em qualquer base tem determinante não nulo, logo det[T]alpha^alphaneq0.

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