Exercício 8 Sejam
um operador linear e
uma base de
. Suponha que 0 não é auto-valor de
e mostre que
.
Passo 1
O exercício diz: temos um operador linear T: V → V em um espaço vetorial de dimensão finita e uma base α de V; sabemos que 0 não é autovalor de T. Precisamos usar conceitos de autovalor, núcleo e determinante de matriz baseada em α para mostrar que o determinante de [T]αα é diferente de zero.
Passo 2
Como 0 não é autovalor de T, pela definição, não existe vetor não-nulo v em V tal que T(v)=0·v=0. Isso significa que N(T), o núcleo de T, contém apenas o vetor zero. Logo, T é injetora.
Em espaço vetorial de dimensão finita, um operador linear injetor é também sobrejetor, portanto T é bijetora. Um operador bijetor tem inversa linear T^{-1}: V→V.
Em espaço vetorial de dimensão finita, um operador linear injetor é também sobrejetor, portanto T é bijetora. Um operador bijetor tem inversa linear T^{-1}: V→V.
Passo 3
Se T é invertível então sua matriz [T]αα em qualquer base α também é invertível. A propriedade fundamental de matrizes diz que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é não nulo.
Portanto, concluímos que .
Portanto, concluímos que
Passo 4
Observação alternativa: por definição de polinômio característico, 0 não ser raiz de
implica
.
Resposta
Como T é invertível (já que 0 não é autovalor), sua matriz em qualquer base tem determinante não nulo, logo
.