Exercício 9 Sejam
um espaço vetorial com
uma base de
e
um operador linear tal que
e
. Mostre que
não é diagonalizável. (Sugestão: trabalhe
.)
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um espaço vetorial V com
, base
e operador linear
dado por
e
. O objetivo é mostrar que
não é diagonalizável, ou seja, não existe base de V formada por autovetores de T. Para resolver, vamos trabalhar com a matriz de T na base
e comparar multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores.
Passo 2
Montando a matriz de T na base
: as colunas são as coordenadas de
e
em
. Como
, temos coluna
; e como
, em coordenadas
. Assim,
Passo 3
Encontrando o polinômio característico: se
, então
Logo o único autovalor é
com multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Determinando o espaço próprio de
: resolvemos
que dá a equação
sem restrição em
. Assim, o espaço próprio
tem dimensão 1.
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica de
(que é 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não há base de V formada por autovetores de T. Portanto, T não é diagonalizável.
Resposta
T não é diagonalizável.