Exercício 9 Sejam V um espaço vetorial com dim V=2, alpha=v, w uma base de V e T: V V um operador linear tal que T(v)=0 e T(w)=v. Mostre que T não é diagonalizável. (Sugestão: trabalhe com[T]alpha^alpha.)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um espaço vetorial V com dim V=2, base alpha=v,w e operador linear T:Vto V dado por T(v)=0 e T(w)=v. O objetivo é mostrar que T não é diagonalizável, ou seja, não existe base de V formada por autovetores de T. Para resolver, vamos trabalhar com a matriz de T na base alpha e comparar multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores.

Passo 2

Montando a matriz de T na base alpha: as colunas são as coordenadas de T(v) e T(w) em alpha. Como T(v)=0, temos coluna (0,0)^T; e como T(w)=v, em coordenadas v=(1,0)^T. Assim,
[T]alpha^alpha=0 & 1 0 & 0

Passo 3

Encontrando o polinômio característico: se A=[T]alpha^alpha, então
p(lambda)=det(A-lambda I)=det-lambda & 1 0 & -lambda=lambda^2
Logo o único autovalor é lambda=0 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Determinando o espaço próprio de lambda=0: resolvemos
Ax1 x2=0Longrightarrow0 & 1 0 & 0x1 x2=0 0,
que dá a equação x2=0 sem restrição em x1. Assim, o espaço próprio E0 tem dimensão 1.

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica de lambda=0 (que é 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não há base de V formada por autovetores de T. Portanto, T não é diagonalizável.

Resposta

T não é diagonalizável.

Exercícios relacionados