Questão 8. Sejam ll1 & 3 0 & 1 e cc-1 & 0 2 & -1. Determine, se possível, a matriz X tal que .

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes invertida de A e B e pede X tal que
Temos as matrizes A^{-1} e B abaixo:
A^-1 = 1 & 3 0 & 1, B = -1 & 0 2 & -1
Queremos encontrar X de modo que
(A^t X)^-1 = (B^-1)^-1
O conteúdo envolvido é propriedade de inversa de produto e transposta de matrizes.

Passo 2

Aplicamos primeiro a propriedade de inversão dupla e, em seguida, invertemos a equação matriz:
Como
(B^-1)^-1 = B,
então
(A^t X)^-1 = B
e invertemos ambos os lados para obter
A^t X = B^-1

Passo 3

Isolamos X multiplicando à esquerda por (A{t}){-1}:
X = (A^t)^-1 , B^-1
Usamos também a propriedade
(A^t)^-1 = (A^-1)^t

Passo 4

Agora calculamos as duas matrizes conhecidas:
  1. Transposta de A^{-1}:
(A^-1)^t = 1 & 0 3 & 1
  1. Inversa de B (2×2): det(B)=(-1)(-1)-0·2=1, logo
B^-1 = 11-1 & 0 -2 & -1 = -1 & 0 -2 & -1
Multiplicamos para obter X:
X = 1 & 0 3 & 1 -1 & 0 -2 & -1 = -1 & 0 -5 & -1

Resposta

X = -1 & 0 -5 & -1

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