Verifique se o subconjunto S do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) é L.I. ou L.D. .
S \doteq\{f, g, h\} e V \doteq C^{\infty}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}), munido das operações usuais, onde
f(x) \doteq 1, \quad g(x) \doteq \operatorname{sen}^{2}(x), \quad h(x) \doteq \cos ^{2}(x), \text { para } x \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S=\{f,g,h\}\subset V=C^\infty(\mathbb{R};\mathbb{R})
é linearmente independente ou dependente, onde
f(x)=1,\quad g(x)=\sin^2(x),\quad h(x)=\cos^2(x).
O conteúdo é dependência linear em espaços de funções: precisamos ver se existe combinação não trivial que zere a função identicamente.

Passo 2

Uma coleção de funções \{f,g,h\} é linearmente dependente se existem escalares a,b,c, não todos zero, tais que
a\,f(x)+b\,g(x)+c\,h(x)=0
para todo x\in\mathbb{R}. Caso contrário, é linearmente independente.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica válida em todo \mathbb{R}:
\sin^2(x)+\cos^2(x)=1.
Reescrevendo,
1-\sin^2(x)-\cos^2(x)=0,
isto é,
f(x)-g(x)-h(x)=0
para todo x.

Passo 4

Da relação
1\cdot f(x)\;+\;(-1)\cdot g(x)\;+\;(-1)\cdot h(x)=0
vemos que (a,b,c)=(1,-1,-1) não é o vetor nulo, mas produz a combinação nula. Logo há dependência linear.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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