Questão 4: Seja A=\left[\begin{array}{cc}-2 & 0 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] uma matriz associada a uma transformação linear.
a) Encontre os autovalores de Te os autovetores de T associados a cada autovalor encontrado.
b) Diagonalize a matriz A , se possível.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}-2 & 0 \\[6pt]3 & 4\end{pmatrix}
e pede (a) os autovalores e autovetores de T (a transformação linear associada a A) e (b) a diagonalização de A, se existir. O conteúdo necessário é cálculo de polinômio característico, resolução de sistemas lineares homogêneos para achar autovetores e montagem de P e D para diagonalizar.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 0 \\[4pt]3 & 4-\lambda\end{pmatrix} =(-2-\lambda)(4-\lambda)\,.
Igualando a zero, obtemos as raízes
(-2-\lambda)(4-\lambda)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1=-2,\;\lambda_2=4.]

Passo 3

Para cada autovalor, resolvemos [(A-\lambda I)x=0).
Para \lambda_1=-2:
A+2I =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]3 & 6\end{pmatrix},
então o sistema
\begin{cases} 0\cdot x_1+0\cdot x_2=0,\\\\ 3x_1+6x_2=0 \end{cases}
x_1=-2x_2\]. Podemos escolher \[x_2=1, logo um autovetor é
v_1=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=4:
A-4I =\begin{pmatrix}-6 & 0 \\[4pt]3 & 0\end{pmatrix},
o sistema
\begin{cases} -6x_1+0\cdot x_2=0,\\\\ 3x_1+0\cdot x_2=0 \end{cases}
impõe x_1=0\] e \(x_2 livre. Tomando x_2=1, um autovetor é
v_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes (LI), pois não são múltiplos um do outro. Logo, A é diagonalizável. Definimos
P=\bigl[v_1\;\;v_2\bigr] =\begin{pmatrix}-2 & 0 \\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}-2 & 0 \\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
Então vale
A = P\,D\,P^{-1}.]

Resposta

Os autovalores são \lambda_1=-2 e \lambda_2=4.
Um autovetor para \lambda_1=-2 é v_1=(-2,1)^T e para \lambda_2=4 é v_2=(0,1)^T.
A diagonalização é dada por
P=\begin{pmatrix}-2 & 0 \\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}-2 & 0 \\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}, \quad A = P\,D\,P^{-1}.]

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