Exercício 7 Sejam V e W espaços vetoriais com produtos internos lang<=cdot, cdotrang<=V elang<=cdot, cdotrang<=W, respectivamente. Uma transformação linear T: V W é uma isometria se lang<= T u, T vrang<=V=lang<= u, vrang<=W para todo u, v in V. Mostre que se T é isometria então T é injetora. (Sugestão: encontre |T v|, v in V.)

Passo 1

O enunciado fala de espaços vetoriais com produtos internos e define uma isometria como uma transformação linear T:V→W que preserva o produto interno, ou seja, para todo u,v em V vale ⟨Tu,Tv⟩W=⟨u,v⟩V. Queremos mostrar que tal T é injetora, isto é, seu núcleo é apenas o vetor zero.

Passo 2

Pela definição de norma associada ao produto interno, temos x=√⟨x,x⟩. Aplicando isso a Tv, obtemos
T v^2=⟨T v,T v⟩W=⟨v,v⟩V=v^2
Logo,
T v=v
para todo v em V.

Passo 3

Para ver injetividade, considere v em V tal que T v=0 em W. Então
T v=0
e pela igualdade de normas segue v=0. Mas o único vetor de norma zero é o vetor nulo, ou seja, v=0. Portanto o núcleo de T é {0} e T é injetora.

Resposta

Como o núcleo de T contém apenas o vetor zero, concluímos que T é injetora.

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