Exercício 7 Sejam
e
espaços vetoriais com produtos internos
, respectivamente. Uma transformação linear
é uma isometria se
para todo
. Mostre que se
é isometria então
é injetora. (Sugestão: encontre
.)
Passo 1
O enunciado fala de espaços vetoriais com produtos internos e define uma isometria como uma transformação linear T:V→W que preserva o produto interno, ou seja, para todo u,v em V vale
. Queremos mostrar que tal T é injetora, isto é, seu núcleo é apenas o vetor zero.
Passo 2
Pela definição de norma associada ao produto interno, temos
. Aplicando isso a Tv, obtemos
Logo,
para todo v em V.
Passo 3
Para ver injetividade, considere v em V tal que T v=0 em W. Então
e pela igualdade de normas segue
. Mas o único vetor de norma zero é o vetor nulo, ou seja, v=0. Portanto o núcleo de T é {0} e T é injetora.
Resposta
Como o núcleo de T contém apenas o vetor zero, concluímos que T é injetora.