Exercício 4 Sejam V e W são subespaços de R^3 com dim V=1, dim W=2 e tal que V não está contido em W. Mostre que:
(a) R^3=V+W;
(b) V cap W=0.

Passo 1

O enunciado fala de subespaços V e W de R^3 com dimensões dim V=1 e dim W=2, e ainda que V não está contido em W. O que precisamos mostrar é que a soma de subespaços V+W gera todo R^3 e que a intersecção Vcap W é só o vetor zero. Para isso vamos usar a fórmula de dimensões de soma e interseção:
dim(V+W)=dim V+dim W-dim(Vcap W)

Passo 2

Como dim(Vcap W) não pode exceder dim V=1, só há duas possibilidades: dim(Vcap W)=1 ou dim(Vcap W)=0. Se fosse 1, então Vcap W teria dimensão igual à de V e isso implicaria Vsubseteq W, o que contradiz o enunciado. Logo temos
dim(Vcap W)=0
e consequentemente
Vcap W=0

Passo 3

Substituindo na fórmula da soma, obtemos
dim(V+W)=dim V+dim W-dim(Vcap W)=1+2-0=3
Como R^3 tem dimensão 3, isto mostra que
V+W=R^3

Resposta

a) R^3=V+W;
b) Vcap W=0.

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