Exercício 4 Sejam
e
são subespaços de
com
,
e tal que
não está contido em W. Mostre que:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado fala de subespaços V e W de
com dimensões
e
, e ainda que
não está contido em
. O que precisamos mostrar é que a soma de subespaços
gera todo
e que a intersecção
é só o vetor zero. Para isso vamos usar a fórmula de dimensões de soma e interseção:
Passo 2
Como
não pode exceder
, só há duas possibilidades:
ou
. Se fosse
, então
teria dimensão igual à de
e isso implicaria
, o que contradiz o enunciado. Logo temos
e consequentemente
Passo 3
Substituindo na fórmula da soma, obtemos
Como
Resposta
a)
;
b) .
b)