Exercício 6. Sejam
e
vetores de
. Mostre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
- Dados:
são vetores de . - Hipótese:
. - Objetivo: mostrar que
.
Não farei nenhuma resolução aqui; só deixei explícito o que foi dado e o que precisa ser demonstrado.
Passo 2
Vamos lembrar propriedades básicas de vetores que vamos usar (cada uma explicada de forma simples).
- Existência do inverso aditivo: para todo vetor
existe um vetor tal que
onde
é o vetor nulo (identidade aditiva).
- Elemento neutro aditivo: para todo vetor
vale
- Associatividade da soma: para quaisquer vetores
,
Essas propriedades são padrão em espaços vetoriais e nos permitem “subtrair” um vetor de ambos os lados de uma igualdade, interpretando subtrair como somar o inverso aditivo.
Passo 3
A ideia é “remover”
de ambos os lados da igualdade. Para isso, somamos o inverso de
, que é
, aos dois membros da igualdade dada. Aplicando isso à hipótese obtemos:
Explicando: somar o mesmo vetor
aos dois lados preserva a igualdade.
Passo 4
Usamos a associatividade para reagrupar as somas em cada membro. Pela associatividade,
Aqui apenas trocamos a ordem de soma de maneira a colocar
junto, porque sabemos o que isso simplifica para.
Passo 5
Pelo fato de
ser o inverso aditivo de
, temos
. Substituindo essa igualdade em ambos os lados da expressão do passo anterior:
Passo 6
Agora usamos a propriedade do elemento neutro (vetor nulo):
para qualquer vetor
. Aplicando essa propriedade aos dois lados da igualdade do passo anterior, obtemos
Pronto — chegamos exatamente ao que queríamos demonstrar.
Passo 7
Para ajudar a fixar a ideia, um exemplo numérico rápido (apenas ilustração): seja
,
e
. Então
e
. Somando
a ambos os lados, voltamos a
. Isso mostra na prática o que a prova formal fez de modo geral.