Exercício 6. Sejam vec{u}, \vec{v} e vec{w} vetores de V^{3}. Mostre que:
Se \vec{u}+\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}, então \vec{v}=\vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
  • Dados: \vec{u},\vec{v},\vec{w} são vetores de V^{3}.
  • Hipótese: \vec{u}+\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}.
  • Objetivo: mostrar que \vec{v}=\vec{w}.
Não farei nenhuma resolução aqui; só deixei explícito o que foi dado e o que precisa ser demonstrado.

Passo 2

Vamos lembrar propriedades básicas de vetores que vamos usar (cada uma explicada de forma simples).
  • Existência do inverso aditivo: para todo vetor \vec{a} existe um vetor -\vec{a} tal que
\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0},
onde \vec{0} é o vetor nulo (identidade aditiva).
  • Elemento neutro aditivo: para todo vetor \vec{a} vale
\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}.
  • Associatividade da soma: para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c},
(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}).
Essas propriedades são padrão em espaços vetoriais e nos permitem “subtrair” um vetor de ambos os lados de uma igualdade, interpretando subtrair como somar o inverso aditivo.

Passo 3

A ideia é “remover” \vec{u} de ambos os lados da igualdade. Para isso, somamos o inverso de \vec{u}, que é -\vec{u}, aos dois membros da igualdade dada. Aplicando isso à hipótese obtemos:
(-\vec{u})+(\vec{u}+\vec{v}) = (-\vec{u})+(\vec{u}+\vec{w}).
Explicando: somar o mesmo vetor -\vec{u} aos dois lados preserva a igualdade.

Passo 4

Usamos a associatividade para reagrupar as somas em cada membro. Pela associatividade,
\big((-\vec{u})+\vec{u}\big)+\vec{v} = \big((-\vec{u})+\vec{u}\big)+\vec{w}.
Aqui apenas trocamos a ordem de soma de maneira a colocar (-\vec{u})+\vec{u} junto, porque sabemos o que isso simplifica para.

Passo 5

Pelo fato de -\vec{u} ser o inverso aditivo de \vec{u}, temos (-\vec{u})+\vec{u}=\vec{0}. Substituindo essa igualdade em ambos os lados da expressão do passo anterior:
\vec{0}+\vec{v} = \vec{0}+\vec{w}.

Passo 6

Agora usamos a propriedade do elemento neutro (vetor nulo): \vec{0}+\vec{a}=\vec{a} para qualquer vetor \vec{a}. Aplicando essa propriedade aos dois lados da igualdade do passo anterior, obtemos
\vec{v} = \vec{w}.
Pronto — chegamos exatamente ao que queríamos demonstrar.

Passo 7

Para ajudar a fixar a ideia, um exemplo numérico rápido (apenas ilustração): seja \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(4,5,6) e \vec{w}=(4,5,6). Então \vec{u}+\vec{v}=(5,7,9) e \vec{u}+\vec{w}=(5,7,9). Somando -\vec{u}=(-1,-2,-3) a ambos os lados, voltamos a \vec{v}=\vec{w}. Isso mostra na prática o que a prova formal fez de modo geral.

Resposta

\vec{v}=\vec{w}

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