Exercício 7. Sejam vec{u}, vec{v} vetores e lambda, mu \in \mathbb{R}. Prove que:
(\lambda-\mu) \vec{u}=\lambda \vec{u}-\mu \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá um vetor \vec{u} num espaço vetorial sobre \mathbb{R} e escalares \lambda,\mu\in\mathbb{R}, e pede para mostrar que
(\lambda-\mu)\,\vec{u} \;=\;\lambda\,\vec{u} \;-\;\mu\,\vec{u}.
Para isso vamos usar dois axiomas básicos de espaços vetoriais:
  1. Distributividade da soma de escalares sobre multiplicação por vetor:
(a+b)\,\vec{v} = a\,\vec{v} + b\,\vec{v}.
  1. Unicidade do inverso aditivo no espaço vetorial, junto com a propriedade de que 0\cdot \vec{v}=\vec{0}.

Passo 2

Reescrevemos \lambda-\mu como uma soma de escalares usando o inverso aditivo de \mu:
\lambda - \mu = \lambda + (-\mu).
Aplicando a distributividade da soma de escalares sobre \vec{u}, obtemos
(\lambda - \mu)\,\vec{u} = \bigl(\lambda + (-\mu)\bigr)\,\vec{u} = \lambda\,\vec{u} + (-\mu)\,\vec{u}.

Passo 3

Mostramos que (-\mu)\,\vec{u} é o mesmo que -\bigl(\mu\,\vec{u}\bigr). Note que
\mu\,\vec{u} + (-\mu)\,\vec{u} = (\mu + (-\mu))\,\vec{u} = 0\,\vec{u} = \vec{0}.
Por definição de inverso aditivo em espaço vetorial, o único vetor que somado a \mu\,\vec{u} \vec{0} é -(\mu\,\vec{u}). Logo
(-\mu)\,\vec{u} = -\bigl(\mu\,\vec{u}\bigr).

Passo 4

Substituindo no resultado do Passo 2, temos
(\lambda - \mu)\,\vec{u} = \lambda\,\vec{u} + \bigl(-(\mu\,\vec{u})\bigr) = \lambda\,\vec{u} - \mu\,\vec{u},
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

(\lambda-\mu)\,\vec{u} \;=\;\lambda\,\vec{u} \;-\;\mu\,\vec{u}.

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