Exercício 7. Sejam vecu, vecv vetores e lambda, mu in R. Prove que:
lambda(u-v)=lambda u-lambda v.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial sobre R, vale a lei distributiva
lambda,(vec u-vec v);=;lambda,vec u;-;lambda,vec v
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais:
  1. A definição de subtração vec u-vec v = vec u + (-vec v).
  2. A distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores:
lambda,(vec a+vec b)=lambda,vec a+lambda,vec b

Passo 2

Pela definição de diferença entre vetores,
vec u-vec v = vec u + (-vec v)
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lambda,(vec u-vec v) =lambdal(vec u+(-vec v)r)

Passo 3

Aplicando a distributividade da multiplicação escalar sobre soma, obtemos
lambdal(vec u+(-vec v)r) =lambda,vec u ;+;lambda,l(-vec vr)

Passo 4

Agora usamos que -vec v = (-1),vec v e que, em R, lambdacdot(-1) = -lambda. Portanto
lambda,l(-vec vr) =lambdal((-1),vec vr) =(lambdacdot(-1)),vec v =-lambda,vec v
Substituindo de volta na expressão do passo anterior, fica
lambda,vec u ;+; lambda,(-vec v) =lambda,vec u ;+;(-lambda,vec v) =lambda,vec u;-;lambda,vec v

Resposta

boxedlambda,(vec u-vec v)=lambda,vec u-lambda,vec v

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