( 0.5 pt ) Decida se as afirmações dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) () Se A e B são matrizes anti-simétricas então A-2 B^t é anti-simétrica.
(b) ( ) Se A é uma matriz quadrada então C=15(A-A^t)^2 é simétrica.
(c) ( ) Se A=P^t D P, onde D é uma matriz diagonal, então A é uma matriz simétrica.
(d) ( ) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n inversíveis então (A+B)^-1=A^-1+B^-1.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando com argumento lógico ou contra-exemplo. Vamos usar definições e propriedades básicas de matrizes:
  • Uma matriz M é antissimétrica se M^t = -M.
  • Uma matriz C é simétrica se C^t = C.
  • (XY)^t = Y^t X^t e (M^t)^t = M.
  • A inversa de soma de matrizes em geral não se distribui como (A+B)^-1 = A^-1+B^-1.

Passo 2

(a) Se A e B são antissimétricas, então
A^t = -A, B^t = -B
Considere
M = A - 2,B^t
Então
M^t = (A - 2B^t)^t = A^t - 2,(B^t)^t = -A - 2B,
e
-,M = -(A - 2B^t) = -A + 2B^t = -A + 2(-B) = -A - 2B
Como M^t = -M, M é antissimétrica. Logo a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) Seja
M = A - A^t
Então M é antissimétrica e
(M^2)^t = (M,M)^t = M^t M^t = (-M)(-M) = M^2
Logo
C = tfrac15,M^2
satisfaz C^t = C, ou seja, C é simétrica. Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

(c) Se
A = P^t,D,P
com D diagonal, então
A^t = (P^t D P)^t = P^t D^t P = P^t D P = A,
pois D^t=D. Assim A é simétrica e (c) é verdadeira.

Passo 5

(d) Em geral não vale
(A+B)^-1 = A^-1 + B^-1. Contra-exemplo escalar: tome A=[1], B=[1]. Então
(A+B)^-1 = (2)^-1 = tfrac12, A^-1+B^-1 = 1 + 1 = 2,
e tfrac12 neq 2. Logo (d) é falsa.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) V
(d) F

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