( 0.5 pt ) Decida se as afirmações dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) () Se
e
são matrizes anti-simétricas então
é anti-simétrica.
(b) ( ) Se
é uma matriz quadrada então
é simétrica.
(c) ( ) Se
, onde
é uma matriz diagonal, então
é uma matriz simétrica.
(d) ( ) Se
e
são matrizes quadradas de ordem
inversíveis então
.
(a) () Se
(b) ( ) Se
(c) ( ) Se
(d) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando com argumento lógico ou contra-exemplo. Vamos usar definições e propriedades básicas de matrizes:
- Uma matriz
é antissimétrica se . - Uma matriz
é simétrica se . -
e . - A inversa de soma de matrizes em geral não se distribui como
.
Passo 2
(a) Se
e
são antissimétricas, então
Considere
Então
e
Como
,
é antissimétrica. Logo a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
(b) Seja
Então
é antissimétrica e
Logo
satisfaz
, ou seja,
é simétrica. Portanto (b) é verdadeira.
Passo 4
(c) Se
com
diagonal, então
pois
. Assim
é simétrica e (c) é verdadeira.
Passo 5
(d) Em geral não vale
. Contra-exemplo escalar: tome
,
. Então
e
. Logo (d) é falsa.
Resposta
(a) V
(b) V
(c) V
(d) F
(b) V
(c) V
(d) F