Exercício 8. Para u e v, vetores a, b, c in R tais que b neq 0 e c neq 0, prove que:
u+vb=ub+vb

Passo 1

O enunciado nos pede para provar que, dados vetores u e v num espaço vetorial sobre R e escalar bneq0, vale
u+vb ;=;ub+vb
Para isso, vamos usar a definição de divisão de vetor por escalar e o axioma de distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de vetores.

Passo 2

Por definição, dividir um vetor por um escalar é multiplicar pelo inverso desse escalar. Assim,
u+vb = l(1br),(u+v)

Passo 3

Pelo axioma de distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores, temos
l(1br),(u+v) = l(1br),u ;+;l(1br),v

Passo 4

Reconhecendo que l(tfrac1br)u=u/b e l(tfrac1br)v=v/b, concluímos
u+vb = ub + vb

Resposta

u+vb=ub+vb

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