Exercício 8. Para
, vetores
tais que
e
, prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, em um espaço vetorial, que para quaisquer vetores
e
e escalar
com
, vale
O conteúdo aqui é a propriedade distributiva da multiplicação escalar em relação à soma (ou subtração) de vetores, junto com a definição de divisão de vetor por escalar.
Passo 2
Lembramos que, por definição, dividir um vetor por um escalar não nulo é multiplicar esse vetor pelo inverso do escalar. Ou seja,
Aplicando essa definição ao membro esquerdo, temos
Passo 3
Pelo axioma distributivo da multiplicação escalar em um espaço vetorial,
Tomando
,
e
, obtemos
Passo 4
Finalmente, reaplicando a definição de divisão por escalar em cada termo do lado direito,
concluímos que