Exercício 8. Para u e v, vetores a, b, c in R tais que b neq 0 e c neq 0, prove que:
u-vb=ub-vb

Passo 1

O enunciado pede para provar, em um espaço vetorial, que para quaisquer vetores vec u e vec v e escalar binR com bneq0, vale
vec u - vec vb ;=;vec ub;-;vec vb
O conteúdo aqui é a propriedade distributiva da multiplicação escalar em relação à soma (ou subtração) de vetores, junto com a definição de divisão de vetor por escalar.

Passo 2

Lembramos que, por definição, dividir um vetor por um escalar não nulo é multiplicar esse vetor pelo inverso do escalar. Ou seja,
vec wb ;=;l(tfrac1br)vec w para todo vetor (vec w) e escalar (bneq0)
Aplicando essa definição ao membro esquerdo, temos
vec u - vec vb =l(tfrac1br)l(vec u - vec vr)

Passo 3

Pelo axioma distributivo da multiplicação escalar em um espaço vetorial,
alpha(vec x - vec y) =alpha,vec x ;-;alpha,vec y para todo escalar (alpha) e vetores (vec x,vec y)
Tomando alpha=tfrac1b, vec x=vec u e vec y=vec v, obtemos
l(tfrac1br)l(vec u - vec vr) =l(tfrac1br)vec u ;-;l(tfrac1br)vec v

Passo 4

Finalmente, reaplicando a definição de divisão por escalar em cada termo do lado direito,
l(tfrac1br)vec u = vec ub e l(tfrac1br)vec v = vec vb,
concluímos que
vec u - vec vb =vec ub -vec vb

Resposta

vec u - vec vb =vec ub -vec vb

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