Exercício 1.2.4 Sendo A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
c) A B;

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 2\times2,
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix},
e pede o produto AB. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes: vamos usar a definição de entrada por entrada.

Passo 2

Para matrizes A de ordem m\times n e B de ordem n\times p, o produto C=AB é de ordem m\times p e seu elemento (i,j) é
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}.
No nosso caso m=n=p=2, então cada c_{ij} sai somando dois produtos: um com k=1 e outro com k=2.

Passo 3

Vamos calcular cada entrada de AB:
(AB)_{11} = 2\cdot2 + 3\cdot(-1) = 4 - 3 = 1,
(AB)_{12} = 2\cdot2 + 3\cdot4 = 4 + 12 = 16,
(AB)_{21} = (-3)\cdot2 + (-5)\cdot(-1) = -6 + 5 = -1,
(AB)_{22} = (-3)\cdot2 + (-5)\cdot4 = -6 - 20 = -26.
Assim obtemos
AB = \begin{pmatrix} 1 & 16 \\\\ -1 & -26 \end{pmatrix}.

Resposta

AB = \begin{pmatrix} 1 & 16 \\\\ -1 & -26 \end{pmatrix}.

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