Exercício 1.2.4 Sendo A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
e) A^{2};

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix}
e pede que calculemos A^{2}. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes, especificamente elevar uma matriz ao quadrado, o que significa calcular A \times A.

Passo 2

Para multiplicar duas matrizes A e A, usamos a definição de produto de matrizes:
(A^{2})_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,A_{kj}.
Como A é 2\times2, cada entrada de A^{2} será
(A^{2})_{11} = A_{11}A_{11} + A_{12}A_{21},\quad (A^{2})_{12} = A_{11}A_{12} + A_{12}A_{22},
(A^{2})_{21} = A_{21}A_{11} + A_{22}A_{21},\quad (A^{2})_{22} = A_{21}A_{12} + A_{22}A_{22}.

Passo 3

Agora calculamos cada entrada:
(A^{2})_{11} = 2\cdot2 + 3\cdot(-3) = 4 - 9 = -5,
(A^{2})_{12} = 2\cdot3 + 3\cdot(-5) = 6 - 15 = -9,
(A^{2})_{21} = (-3)\cdot2 + (-5)\cdot(-3) = -6 + 15 = 9,
(A^{2})_{22} = (-3)\cdot3 + (-5)\cdot(-5) = -9 + 25 = 16.

Resposta

A^{2} = \begin{pmatrix} -5 & -9 \\[6pt] 9 & 16 \end{pmatrix}]

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