Exercício 1.2.4 Sendo A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
g) A^{2}+B^{2};

Passo 1

O enunciado pede para calcular
A^{2}+B^{2}
onde
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é multiplicação e soma de matrizes 2\times 2. Vamos lembrar que, para multiplicar duas matrizes X e Y, o elemento (i,j) de XY é a soma dos produtos dos elementos da linha i de X pelos da coluna j de Y.

Passo 2

Calcular A^{2}=A\cdot A. Aplicando a definição de produto de matrizes,
A^2 =\begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot2 + 3\cdot(-3) & 2\cdot3 + 3\cdot(-5)\\\\ -3\cdot2 + (-5)\cdot(-3) & -3\cdot3 + (-5)\cdot(-5) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -5 & -9\\\\ 9 & 16 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular B^{2}=B\cdot B. De novo, cada entrada é produto de linha por coluna:
B^2 =\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot2 + 2\cdot(-1) & 2\cdot2 + 2\cdot4\\\\ -1\cdot2 + 4\cdot(-1) & -1\cdot2 + 4\cdot4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 12\\\\ -6 & 14 \end{pmatrix}.

Passo 4

Somar matrizes A^2 e B^2 termo a termo:
A^2 + B^2 =\begin{pmatrix}-5 & -9\\\ 9 & 16\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2 & 12\\\ -6 & 14\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -5+2 & -9+12\\\\ 9+(-6) & 16+14 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -3 & 3\\\\ 3 & 30 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{2}+B^{2} =\begin{pmatrix} -3 & 3\\\\ 3 & 30 \end{pmatrix}.

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