Exercício 1.2.4 Sendo A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
f) B^{2};

Passo 1

O enunciado dá a matriz B em \mathbb{R}^{2\times 2} e pede o quadrado B^2, isto é, o produto de B por si mesma. O conteúdo é multiplicação de matrizes.

Passo 2

A definição de multiplicação diz que o elemento (i,j) de B^2 é
(B^2)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{2} B_{ik}\,B_{kj}.
Escrevemos primeiramente
B = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculemos as entradas de B^2:
(B^2)_{11} = 2\cdot 2 + 2\cdot(-1) = 4 - 2 = 2,
(B^2)_{12} = 2\cdot 2 + 2\cdot 4 = 4 + 8 = 12,
(B^2)_{21} = (-1)\cdot 2 + 4\cdot(-1) = -2 - 4 = -6,
(B^2)_{22} = (-1)\cdot 2 + 4\cdot 4 = -2 + 16 = 14.

Resposta

B^2 = \begin{pmatrix}2 & 12 \\\\ -6 & 14\end{pmatrix}.

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