Exercício 1.2.4 Sendo A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
i) 3 B+2 A B;

Passo 1

O enunciado pede para calcular 3B + 2AB, onde
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é multiplicação de matrizes (linha × coluna), multiplicação de matriz por escalar e adição de matrizes.

Passo 2

Primeiro calculamos o produto AB. Cada entrada (i,j) de AB é dada por
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.
Assim,
AB = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 3\cdot(-1) & 2\cdot2 + 3\cdot4 \\[6pt] -3\cdot2 + (-5)\cdot(-1) & -3\cdot2 + (-5)\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 16 \\[3pt] -1 & -26 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora multiplicamos AB por 2, aplicando o escalar em cada entrada:
2AB =2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 16 \\[3pt] -1 & -26 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 32 \\[3pt] -2 & -52 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Em seguida, multiplicamos B por 3:
3B =3\cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\[3pt] -1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\[3pt] -3 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Por fim, somamos 3B e 2AB entrada a entrada:
3B + 2AB = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\[3pt] -3 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 32 \\[3pt] -2 & -52 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+2 & 6+32 \\[3pt] -3+(-2) & 12+(-52) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 38 \\[3pt] -5 & -40 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 8 & 38 \\[3pt] -5 & -40 \end{pmatrix}]

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