Exercício 1.2.4 Sendo A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
j) 2 A^{2}-3 A B;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \,2A^{2}-3AB onde
A = \begin{pmatrix}2 & 3\\\ -3 & -5\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2 & 2\\\ -1 & 4\end{pmatrix}.
Vamos precisar usar multiplicação de matrizes para obter A^2 e AB, depois multiplicação escalar e finalmente a diferença entre matrizes.

Passo 2

Calcular A^2 = A \cdot A.
A^2 = \begin{pmatrix}2 & 3\\\ -3 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 3\\\ -3 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 3\cdot(-3) & 2\cdot3 + 3\cdot(-5)\\\\ -3\cdot2 + (-5)\cdot(-3) & -3\cdot3 + (-5)\cdot(-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -9\\\\ 9 & 16 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular AB = A \cdot B.
AB = \begin{pmatrix}2 & 3\\\ -3 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 2\\\ -1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 3\cdot(-1) & 2\cdot2 + 3\cdot4\\\\ -3\cdot2 + (-5)\cdot(-1) & -3\cdot2 + (-5)\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 16\\\\ -1 & -26 \end{pmatrix}.

Passo 4

Multiplicar cada resultado pelo escalar correspondente:
2A^2 = 2 \cdot \begin{pmatrix} -5 & -9\\\\ 9 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & -18\\\\ 18 & 32 \end{pmatrix}, \quad 3AB = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 16\\\\ -1 & -26 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 48\\\\ -3 & -78 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora fazemos a diferença
2A^2 - 3AB = \begin{pmatrix} -10 & -18\\\\ 18 & 32 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 48\\\\ -3 & -78 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 - 3 & -18 - 48\\\\ 18 - (-3) & 32 - (-78) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 & -66\\\\ 21 & 110 \end{pmatrix}.

Resposta

2A^{2}-3AB = \begin{pmatrix} -13 & -66\\\\ 21 & 110 \end{pmatrix}.

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