Exercício 1.2.4 Sendo A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
k) A B-B A;

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}
e pede o comutador AB - BA. Para isso vamos precisar usar a regra de multiplicação de matrizes 2\times 2 (linha–coluna) e depois fazer a subtração termo a termo.

Passo 2

Calcular AB multiplicando A por B:
AB = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 3\cdot(-1) & 2\cdot2 + 3\cdot4 \\[6pt] (-3)\cdot2 + (-5)\cdot(-1) & (-3)\cdot2 + (-5)\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 & 4 + 12 \\[6pt] -6 + 5 & -6 - 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 16 \\[3pt] -1 & -26 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular BA multiplicando B por A:
BA = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 2\cdot(-3) & 2\cdot3 + 2\cdot(-5) \\[6pt] (-1)\cdot2 + 4\cdot(-3) & (-1)\cdot3 + 4\cdot(-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 6 & 6 - 10 \\[6pt] -2 - 12 & -3 - 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\[3pt] -14 & -23 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Subtrair BA de AB elemento a elemento:
AB - BA = \begin{pmatrix} 1 - (-2) & 16 - (-4) \\[4pt] -1 - (-14) & -26 - (-23) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 20 \\[3pt] 13 & -3 \end{pmatrix}.]

Resposta

AB - BA = \begin{pmatrix}3 & 20 \\\\ 13 & -3\end{pmatrix}.

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