Exercício 1.2.4 Sendo A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
l) A^{2}-2 A B+B^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}
e pede para calcular
A^{2} - 2AB + B^{2}.
O que vamos usar é a definição de multiplicação de matrizes, a soma de matrizes e a multiplicação de uma matriz por escalar.

Passo 2

Calcular A^{2}=A\cdot A.
A^{2} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 3\cdot(-3) & 2\cdot3 + 3\cdot(-5)\\\\ -3\cdot2 +(-5)\cdot(-3) & -3\cdot3 +(-5)\cdot(-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 & -9 \\\\ 9 & 16\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular B^{2}=B\cdot B.
B^{2} = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 2\cdot(-1) & 2\cdot2 + 2\cdot4\\\\ -1\cdot2 + 4\cdot(-1) & -1\cdot2 + 4\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 12 \\\\ -6 & 14\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular AB e depois 2AB.
AB = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -3 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 3\cdot(-1) & 2\cdot2 + 3\cdot4\\\\ -3\cdot2 +(-5)\cdot(-1) & -3\cdot2 +(-5)\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 16 \\\\ -1 & -26\end{pmatrix},
2AB = \begin{pmatrix}2 & 32 \\\\ -2 & -52\end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular A^{2} - 2AB.
A^{2} - 2AB = \begin{pmatrix}-5 & -9 \\\\ 9 & 16\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & 32 \\\\ -2 & -52\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 & -41 \\\\ 11 & 68\end{pmatrix}.

Passo 6

Finalmente, somar B^{2} para obter A^{2} - 2AB + B^{2}.
A^{2} - 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix}-7 & -41 \\\\ 11 & 68\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 12 \\\\ -6 & 14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 & -29 \\\\ 5 & 82\end{pmatrix}.

Resposta

A^{2} - 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix}-5 & -29 \\\\ 5 & 82\end{pmatrix}.

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