(3 pontos) Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 1} f(x), \operatorname{com} f(x)=\left\{\begin{array}{rlc}x+1 & \text { se } & x \leq 1 \\\\ -x & \text { se } & x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes:
f(x)=\begin{cases} x+1, & x\le 1,\\[4pt] -x, & x>1. \end{cases}
A pergunta é: determinar, se existir, o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x).]

Passo 2

Regra básica que vamos usar (explicada de forma simples): para que o limite \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) exista é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Ou seja, deve ocorrer
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x).
Aqui \lim_{x\to 1^-} f(x) é o valor para o qual f(x) se aproxima quando x tende a 1 por valores menores que 1 (pela esquerda), e \lim_{x\to 1^+} f(x) é o valor quando x tende a 1 por valores maiores que 1 (pela direita).

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda. Para x próximos de 1 com x\le 1 a função é dada por f(x)=x+1. Como a função x+1 é contínua (uma reta), o limite é encontrado simplesmente substituindo x=1:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} (x+1)=1+1=2.
Explicando de forma pedagógica: valores de x ligeiramente menores que 1 dão f(x) próximos de 2, então a aproximação pela esquerda é 2.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita. Para x próximos de 1 com x>1 a função é f(x)=-x. Novamente -x é contínua, então substituímos x=1:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (-x)=-1.
Interpretação: valores de x ligeiramente maiores que 1 dão f(x) próximos de -1, então a aproximação pela direita é -1.

Passo 5

Comparação e conclusão sobre a existência do limite. Encontramos
\lim_{x\to 1^-} f(x)=2\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x)=-1.
Como estes dois números são diferentes, a condição necessária para a existência de \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) não é satisfeita. Portanto o limite quando x\to 1 não existe. (Para completar: o valor da função em 1 é f(1)=1+1=2, então há uma descontinuidade do tipo salto.)

Resposta

O limite não existe.

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