A pergunta é: determinar, se existir, o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x).]
Passo 2
Regra básica que vamos usar (explicada de forma simples): para que o limite \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) exista é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Ou seja, deve ocorrer
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x).
Aqui \lim_{x\to 1^-} f(x) é o valor para o qual f(x) se aproxima quando x tende a 1 por valores menores que 1 (pela esquerda), e \lim_{x\to 1^+} f(x) é o valor quando x tende a 1 por valores maiores que 1 (pela direita).
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda. Para x próximos de 1 com x\le 1 a função é dada por f(x)=x+1. Como a função x+1 é contínua (uma reta), o limite é encontrado simplesmente substituindo x=1:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} (x+1)=1+1=2.
Explicando de forma pedagógica: valores de x ligeiramente menores que 1 dão f(x) próximos de 2, então a aproximação pela esquerda é 2.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita. Para x próximos de 1 com x>1 a função é f(x)=-x. Novamente -x é contínua, então substituímos x=1:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (-x)=-1.
Interpretação: valores de x ligeiramente maiores que 1 dão f(x) próximos de -1, então a aproximação pela direita é -1.
Passo 5
Comparação e conclusão sobre a existência do limite. Encontramos
Como estes dois números são diferentes, a condição necessária para a existência de \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) não é satisfeita. Portanto o limite quando x\to 1 não existe. (Para completar: o valor da função em 1 é f(1)=1+1=2, então há uma descontinuidade do tipo salto.)