Exercício 0.9 Simplifique as expressões abaixo
\left(4^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{3}}

Passo 1

O problema pede para simplificar a expressão
\left(4^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{3}}.
Informações dadas: a base é 4, o expoente exterior é -\sqrt{3} e o expoente interior é \sqrt{2}. A tarefa é aplicar regras de potências e raízes para obter uma forma mais simples e clara da expressão.

Passo 2

Regra útil 1 — potência de potência: quando temos uma potência elevada a outra potência, a regra é
(a^b)^c = a^{b\cdot c}.
Aqui a é a base, b é o expoente interno e c o expoente externo. Isso vale para qualquer real a>0 e quaisquer b,c. Vamos aplicar essa regra ao nosso caso.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso problema:
\left(4^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{3}} = 4^{\sqrt{2}\cdot(-\sqrt{3})}.
Repare que multipliquei os expoentes \sqrt{2} e -\sqrt{3}.

Passo 4

Regra útil 2 — produto de raízes quadradas: para a\ge 0 e b\ge 0,
\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a b}.
Aqui tanto 2 quanto 3 são não negativos, então podemos usar essa propriedade para simplificar \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}.

Passo 5

Usando a propriedade das raízes:
\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}.
Portanto o expoente composto vira -\sqrt{6}, e então
4^{\sqrt{2}\cdot(-\sqrt{3})}=4^{-\sqrt{6}}.

Passo 6

Regra útil 3 — expoente negativo: para a>0 e qualquer r,
a^{-r}=\frac{1}{a^{r}}.
Podemos apresentar a expressão também como uma recíproca com expoente positivo, se quisermos uma forma alternativa.

Passo 7

Aplicando a regra do expoente negativo para escrever em forma de recíproco:
4^{-\sqrt{6}}=\frac{1}{4^{\sqrt{6}}}.

Passo 8

Outra forma ainda é escrever a base 4 como 2^2. Como consequência,
4^{-\sqrt{6}}=(2^2)^{-\sqrt{6}}=2^{-2\sqrt{6}}.
Todas as três formas \;4^{-\sqrt{6}},\;\dfrac{1}{4^{\sqrt{6}}},\;2^{-2\sqrt{6}}\; são equivalentes. Escolhemos uma forma final simples para a resposta.

Resposta

4^{-\sqrt{6}}

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