Em sistemas de engenharia, especialmente em análise de circuitos elétricos, fluxo de potência e modelagem estrutural, é comum a necessidade de resolver sistemas lineares da forma:
A \mathbf{x}=\mathbf{b}
onde A representa a matriz de coeficientes do sistema (por exemplo, matriz de admitância ou rigidez), \mathbf{x} o vetor de incógnitas (tensões, correntes ou deslocamentos), e b o vetor de excitações externas.
Considere um sistema simplificado inspirado em modelos utilizados em análise de redes elétricas:
Fonte adaptada:
SAAD, Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. SIAM, 2003.
KUNDUR, P. Power System Stability and Control. McGraw-Hill, 1994.
Realize a decomposição LU da matriz A, determinando as matrizes L (triangular inferior com diagonal unitária) e U (triangular superior), tais que A=L U.
Resolva o sistema linear utilizando a decomposição LU:
Resolva L \mathbf{y}=\mathbf{b} (por substituição sucessivas);
Resolva U \mathbf{x}=\mathbf{y} (por substituição retroativa).
Interprete o significado físico da solução \mathbf{x} no contexto da engenharia (por exemplo, tensões nodais ou respostas estruturais).
Discuta as vantagens do uso da decomposição LU em problemas de engenharia que envolvem múltiplos vetores b.
Fazer a decomposição A=L U com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior.
Usar essa decomposição para resolver A\mathbf{x}=\mathbf{b}, i.e.:
resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição direta (forward);
resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição retroativa (backward).
Interpretar fisicamente a solução \mathbf{x}.
Discutir vantagens da decomposição LU para vários vetores \mathbf{b}.]
Passo 2
Breve aula: o que é decomposição LU e como obtê-la concretamente.
Ideia: escrever A=L U onde L tem 1s na diagonal e abaixo dela são os multiplicadores usados na eliminação de Gauss; U é a forma escalonada (triangular superior) obtida após eliminação.
Procedimento prático para uma matriz 3\times3:
Na primeira etapa usa-se o pivô a_{11}. Os multiplicadores para zerar abaixo sãol_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}},\qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}.Esses l_{i1} entram em L nas posições (2,1) e (3,1).
Subtrai-se l_{21} vezes a linha 1 da linha 2 e l_{31} vezes a linha 1 da linha 3 para obter uma nova submatriz de ordem 2. O resto vira parte de U.
Depois usa-se o pivô resultante u_{22} (entrada (2,2) já atualizada). O multiplicadorl_{32}=\frac{u_{32}}{u_{22}}zera a posição (3,2). Esse l_{32} vai em L.
Observação importante: se um pivô for zero ou muito pequeno, normalmente faz-se pivotamento (troca de linhas). Neste exercício os pivôs serão não nulos, então seguimos sem pivotamento.
Passo 3
Aplicando a eliminação na prática (primeira coluna).
Pivô inicial: a_{11}=2.
Calcula-se os multiplicadores:l_{21}=\frac{4}{2}=2,\qquad l_{31}=\frac{-2}{2}=-1.
Zera-se abaixo do pivô:
Nova linha 2 = linha 2 -l_{21}\timeslinha 1:\begin{pmatrix}4&7&7\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}2&3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1&5\end{pmatrix}.
Nova linha 3 = linha 3 -l_{31}\timeslinha 1 (note que l_{31}=-1, então soma-se a linha 1):\begin{pmatrix}-2&4&5\end{pmatrix}-(-1)\cdot\begin{pmatrix}2&3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&7&6\end{pmatrix}.
Após essa etapa, a forma escalonada parcial é\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 7 & 6 \end{pmatrix},onde as entradas já são os candidatos a u_{ij} de U.]
Passo 4
Segunda etapa da eliminação (segunda coluna).
Pivô na segunda etapa: u_{22}=1 (não é zero).
Multiplicador para zerar posição (3,2):l_{32}=\frac{7}{1}=7.
Subtrai-se 7 vezes a segunda linha da terceira:\begin{pmatrix}0&7&6\end{pmatrix}-7\cdot\begin{pmatrix}0&1&5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0&-29\end{pmatrix}.
Assim obtemos a triangular superior final U.
Passo 5
Escrevendo L e U explicitamente e verificando A=L U.
Assim a solução final é\mathbf{x}=\begin{pmatrix}-\dfrac{27}{58}\\[6pt]\dfrac{20}{29}\\[6pt]-\dfrac{4}{29}\end{pmatrix} =\frac{1}{58}\begin{pmatrix}-27\\[4pt]40\\[4pt]-8\end{pmatrix}.]
Passo 8
Interpretação física didática e amigável da solução \mathbf{x}.
Se A for, por exemplo, uma matriz de rigidez K de um sistema estrutural e \mathbf{b} for um vetor de forças externas aplicadas nos graus de liberdade, então \mathbf{x} representa os deslocamentos nodais induzidos por essas forças. Um componente negativo em \mathbf{x} significa que o deslocamento ocorre na direção oposta à orientação de sinal escolhida positivamente.
Se A for a matriz de admitância (condutância) de um circuito e \mathbf{b} representar fontes nodais (correntes injetadas), então \mathbf{x} pode representar tensões nodais; sinais negativos indicam tensão abaixo do referencial escolhido.
Em termos práticos de engenharia: os valores e sinais de \mathbf{x} dizem onde o sistema “cede” (deslocamento/queda de tensão) e onde há resposta maior; magnitudes relativas mostram quais variáveis são mais sensíveis às excitações dadas.
Passo 9
Vantagens da decomposição LU em problemas com múltiplos vetores \mathbf{b} (explicação passo a passo).
Custo computacional:
Montar a decomposição A=L U custa, em geral, O(n^3) operações (uma vez).
Cada resolução A\mathbf{x}=\mathbf{b} usando L U requer apenas uma substituição direta e uma retroativa, totalizando O(n^2) operações.
Portanto, se houver muitos vetores \mathbf{b} (por exemplo, análise de diversas cargas, simulações paramétricas, ou cálculo de respostas a várias entradas), faz-se a decomposição uma única vez e resolve-se rapidamente para cada \mathbf{b}.
Reaproveitamento e eficiência:
Em aplicações em tempo real ou otimização, isso reduz muito o tempo total.
Estabilidade e prática:
Quando necessário, aplica-se pivotamento (LU com pivotamento parcial) para garantir estabilidade numérica; isso altera um pouco o processo, mas mantém a vantagem de fatorizar A uma única vez.
Estrutura esparsa:
Em sistemas grandes e esparsos (com muitas entradas zero), existem algoritmos de LU que preservam a esparsidade e tornam a abordagem ainda mais eficiente em memória e tempo.
Resumo amigável: pense assim — decompor A é o trabalho pesado que faz só uma vez; depois cada novo \mathbf{b} é uma “conta rápida” com duas passadas (forward e backward). É por isso que engenheiros adoram LU quando precisam testar o mesmo sistema com várias cargas/excitações.
\mathbf{y}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}-\dfrac{27}{58}\\[6pt]\dfrac{20}{29}\\[6pt]-\dfrac{4}{29}\end{pmatrix}.\n
A solução \mathbf{x} representa as quantidades físicas do problema (por exemplo, deslocamentos nodais se A for rigidez, ou tensões nodais se A for admitância), e os sinais indicam direção/oposição em relação à referência escolhida.\n
Vantagens: fatoração A=LU é feita uma vez (O(n^3)); cada novo \mathbf{b} resolve-se em O(n^2) via forward/backward, economizando muito tempo quando há múltiplas cargas/entradas; também permite aproveitamento de esparsidade e se combina bem com pivotamento para estabilidade numérica.]