Mostre como encontrar a derivada
das funções abaixo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=\frac{e{x}\ln(x)}{x{2}}.
O conteúdo envolve as regras de derivação de exponencial, logaritmo, produto e quociente.
f(x)=\frac{e{x}\ln(x)}{x{2}}.
O conteúdo envolve as regras de derivação de exponencial, logaritmo, produto e quociente.
Passo 2
Definimos duas funções auxiliares:
u(x)=e^{x}\ln(x)
v(x)=x^{2}
v(x)=x^{2}
Assim precisamos calcular u’(x) e v’(x) para aplicar a regra do quociente.
Passo 3
Para achar u’(x) usamos a regra do produto em u(x)=e^{x}\ln(x):
u’(x)=\frac{d}{dx}[e{x}]\cdot\ln(x)+e{x}\cdot\frac{d}{dx}[\ln(x)]
Logo,
u’(x)=e{x}\ln(x)+e{x}\cdot\frac{1}{x}.
Passo 4
A derivada de v(x)=x^{2} é direta:
v’(x)=2x.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do quociente:
Substituindo u, u’, v e v’ temos:
Passo 6
Basta simplificar o numerador:
x{2}e{x}\ln(x)+x,e{x}-2x,e{x}\ln(x)=e{x}\bigl(x{2}\ln(x)-2x\ln(x)+x\bigr)
Fatorando:
=e^{x}\bigl[x\ln(x)(x-2)+x\bigr]
Então
[f’(x)=\frac{e{x}[x\ln(x)(x-2)+x]}{x{4}}=\frac{e{x},x\bigl((x-2)\ln(x)+1\bigr)}{x{4}}=\frac{e{x}\bigl((x-2)\ln(x)+1\bigr)}{x{3}}.