Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=e^x ln (x)x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=\frac{e{x}\ln(x)}{x{2}}.
O conteúdo envolve as regras de derivação de exponencial, logaritmo, produto e quociente.

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares:
u(x)=e^{x}\ln(x)
v(x)=x^{2}
Assim precisamos calcular u’(x) e v’(x) para aplicar a regra do quociente.

Passo 3

Para achar u’(x) usamos a regra do produto em u(x)=e^{x}\ln(x):
u’(x)=\frac{d}{dx}[e{x}]\cdot\ln(x)+e{x}\cdot\frac{d}{dx}[\ln(x)]
Logo,
u’(x)=e{x}\ln(x)+e{x}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 4

A derivada de v(x)=x^{2} é direta:
v’(x)=2x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u, u’, v e v’ temos:
f'(x)=l(e^xln(x)+e^x/xr)x^2-e^xln(x),2xx^4.

Passo 6

Basta simplificar o numerador:
x{2}e{x}\ln(x)+x,e{x}-2x,e{x}\ln(x)=e{x}\bigl(x{2}\ln(x)-2x\ln(x)+x\bigr)
Fatorando:
=e^{x}\bigl[x\ln(x)(x-2)+x\bigr]
Então
[f’(x)=\frac{e{x}[x\ln(x)(x-2)+x]}{x{4}}=\frac{e{x},x\bigl((x-2)\ln(x)+1\bigr)}{x{4}}=\frac{e{x}\bigl((x-2)\ln(x)+1\bigr)}{x{3}}.

Resposta

f'(x)=e^xl((x-2)ln(x)+1r)x^3

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