Exercício 4 Suponha que X\) tenha f.d.p dada por \[f_{X}(x)= \begin{cases}3 x^{2}, & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
Seja Y=1-X^{2}\]. Determine a f.d.a e a f.d.p de \(Y.

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de X\): \[f_X(x)=\begin{cases}3x^{2}, & \text{se }0<x<1,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
A variável aleatória Y\] é dada por \(Y=1-X^{2}. O que se pede:
  • Determinar a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de Y, ou seja \displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\le y).
  • Determinar a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de Y, ou seja \displaystyle f_{Y}(y)=F_{Y}'(y) quando existir.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • X toma valores em (0,1) com densidade 3x^{2}.
  • A transformação y=1-x^{2} reduz valores de x em (0,1) para valores de y em (0,1) (veremos isso no próximo passo).]

Passo 2

Determinar a f.d.a. de X, pois vamos usá-la. Para 0<x<1,
F_X(x)=P(X\le x)=\int_{0}^{x}3t^{2}\,dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{x}3t^{2}\,dt = 3\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{x}=x^{3}.
Logo
F_X(x)=\begin{cases}0,& x\le 0,\\[4pt]x^{3},&0<x<1,\\[4pt]1,&x\ge 1.\end{cases}]

Passo 3

Entender o alcance (suporte) de Y. Como X\in(0,1),
Y=1-X^{2}\in(1-1^{2},\,1-0^{2})=(0,1).
Portanto Y só pode assumir valores entre 0 e 1. Para y<0 teremos F_Y(y)=0 e para y\ge 1 teremos F_Y(y)=1. A parte não-trivial é obter F_Y(y) para 0\le y<1.

Passo 4

Calcular a f.d.a. de Y para 0\le y<1. Começamos por escrever
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(1-X^{2}\le y).
Resolver a desigualdade em X:
1-X^{2}\le y \quad\Longleftrightarrow\quad X^{2}\ge 1-y.
Como X\ge 0 (suporte de X é (0,1)), isso é equivalente a
X\ge \sqrt{1-y}.
Logo
F_Y(y)=P(X\ge \sqrt{1-y})=1-P(X<\sqrt{1-y})=1-F_X\big(\sqrt{1-y}\big).

Passo 5

Substituir F_X que achamos no Passo 2. Para 0\le y<1 tem-se \sqrt{1-y}\in(0,1], então usamos F_X(x)=x^{3}:
F_Y(y)=1-\big(\sqrt{1-y}\big)^{3}=1-(1-y)^{3/2},\qquad 0\le y<1.
Reunindo com os casos y<0 e y\ge 1, obtemos a f.d.a. completa:
F_Y(y)=\begin{cases}0, & y<0,\\[4pt]1-(1-y)^{3/2}, & 0\le y<1,\\[4pt]1, & y\ge 1.\end{cases}]

Passo 6

Encontrar a f.d.p. de Y derivando F_Y(y) no intervalo (0,1). Diferenciando a expressão do Passo 5:
\frac{d}{dy}\big[1-(1-y)^{3/2}\big]= -\frac{d}{dy}(1-y)^{3/2}.
Usar a regra da cadeia: se g(u)=u^{3/2} então g'(u)=\tfrac{3}{2}u^{1/2}. Com u=1-y temos du/dy=-1. Assim
\frac{d}{dy}(1-y)^{3/2}=\tfrac{3}{2}(1-y)^{1/2}\cdot(-1)=-\tfrac{3}{2}(1-y)^{1/2}.
Portanto
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)= -\big(-\tfrac{3}{2}(1-y)^{1/2}\big)=\tfrac{3}{2}(1-y)^{1/2},\qquad 0<y<1.
E fora desse intervalo f_Y(y)=0.

Passo 7

Verificação rápida de normalização (confirmação didática): calcular
\int_{0}^{1}f_Y(y)\,dy=\int_{0}^{1}\tfrac{3}{2}(1-y)^{1/2}\,dy=\tfrac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\big[(1-y)^{3/2}\big]_{0}^{1}=1,
logo a densidade está correta.

Passo 8

Comentário alternativo (fórmula de transformação monotônica): como y=1-x^{2} é estritamente monotona (decrescente) em x\in(0,1), a inversa é x=g(y)=\sqrt{1-y}. A fórmula geral para densidade em transformação monotona é
f_Y(y)=f_X\big(g(y)\big)\,\big|g'(y)\big|.
Aqui g'(y)=-\tfrac{1}{2}(1-y)^{-1/2}, \big|g'(y)\big|=\tfrac{1}{2}(1-y)^{-1/2} e f_X(g(y))=3\big(\sqrt{1-y}\big)^{2}=3(1-y). Multiplicando:
f_Y(y)=3(1-y)\cdot \tfrac{1}{2}(1-y)^{-1/2}=\tfrac{3}{2}(1-y)^{1/2},
o mesmo resultado obtido acima. Isso confirma a consistência.

Resposta

F_{Y}(y)=\begin{cases}0, & y<0,\\[4pt]1-(1-y)^{3/2}, & 0\le y<1,\\[4pt]1, & y\ge 1,\end{cases}
f_{Y}(y)=\begin{cases}\tfrac{3}{2}(1-y)^{1/2}, & 0<y<1,\\[4pt]0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á]

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