Entender o alcance (suporte) de Y. Como X\in(0,1),
Y=1-X^{2}\in(1-1^{2},\,1-0^{2})=(0,1).
Portanto Y só pode assumir valores entre 0 e 1. Para y<0 teremos F_Y(y)=0 e para y\ge 1 teremos F_Y(y)=1. A parte não-trivial é obter F_Y(y) para 0\le y<1.
Passo 4
Calcular a f.d.a. de Y para 0\le y<1. Começamos por escrever
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(1-X^{2}\le y).
Resolver a desigualdade em X:
1-X^{2}\le y \quad\Longleftrightarrow\quad X^{2}\ge 1-y.
Como X\ge 0 (suporte de X é (0,1)), isso é equivalente a
Comentário alternativo (fórmula de transformação monotônica): como y=1-x^{2} é estritamente monotona (decrescente) em x\in(0,1), a inversa é x=g(y)=\sqrt{1-y}. A fórmula geral para densidade em transformação monotona é
f_Y(y)=f_X\big(g(y)\big)\,\big|g'(y)\big|.
Aqui g'(y)=-\tfrac{1}{2}(1-y)^{-1/2}, \big|g'(y)\big|=\tfrac{1}{2}(1-y)^{-1/2} e f_X(g(y))=3\big(\sqrt{1-y}\big)^{2}=3(1-y). Multiplicando: