Exercício 8 Um tanque contem inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
, onde
e contado a partir do início do processo.
(b) Calcule a concentração do limite de sal no tanque quando
e o tempo necessário para que á concentração atinja metade deste valor.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
(b) Calcule a concentração do limite de sal no tanque quando
Passo 1
O enunciado descreve um tanque de volume constante de 100 L, inicialmente com 100 g de sal dissolvidos. Entra uma solução com concentração de 5 g/L a 4 L/min e sai mistura bem agitada à mesma vazão de 4 L/min. O conteúdo é um problema clássico de mistura — vamos modelar com uma ODE para a quantidade de sal
.
Passo 2
Em cada minuto:
- entra sal à razão
g/min, - sai sal à razão
g/min.
Logo a ODE é
Passo 3
Essa é uma equação linear do 1º grau. O estado estacionário (quando
) satisfaz
A solução geral é
Como
g, vem abaixo.
Passo 4
Portanto
Passo 5
A concentração no tanque é
g/L. Quando
,
g, logo
Para que essa concentração atinja metade desse valor, ou seja
g/L, precisamos de
g. Então
Resposta
(a)
g.
(b) A concentração limite é g/L e o tempo para chegar a metade desse valor é
(b) A concentração limite é