Exercício 8 Um tanque contem inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e contado a partir do início do processo.
(b) Calcule a concentração do limite de sal no tanque quando t infty e o tempo necessário para que á concentração atinja metade deste valor.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume constante de 100 L, inicialmente com 100 g de sal dissolvidos. Entra uma solução com concentração de 5 g/L a 4 L/min e sai mistura bem agitada à mesma vazão de 4 L/min. O conteúdo é um problema clássico de mistura — vamos modelar com uma ODE para a quantidade de sal S(t).

Passo 2

Em cada minuto:
  • entra sal à razão vazãointimesconcin=4cdot5=20ã g/min,
  • sai sal à razão vazãoouttimesconctanque=4cdotS(t)100=0,04,S(t)ã g/min.
    Logo a ODE é
dSdt=20-0,04,S

Passo 3

Essa é uma equação linear do 1º grau. O estado estacionário (quando dS/dt=0) satisfaz
0=20-0,04,Sinfty Longrightarrow Sinfty=200,04=500 g
A solução geral é
S(t)=Sinfty+l(S(0)-Sinftyr)e^-0,04,t
Como S(0)=100 g, vem abaixo.

Passo 4

Portanto
S(t)=500-l(500-100r)e^-0,04,t =500-400,e^-0,04,t(g)

Passo 5

A concentração no tanque é S(t)100 g/L. Quando ttoinfty, S(t)to500 g, logo
limttoinftyS(t)100= 500100=5 g/L
Para que essa concentração atinja metade desse valor, ou seja 2,5 g/L, precisamos de S(t)=250 g. Então
500-400,e^-0.04,t=250 Longrightarrow e^-0.04,t=58 Longrightarrow t=-10.04ln!l(tfrac58r) =25ln!l(tfrac85r)approx11,8 min

Resposta

(a) S(t)=500-400,e^-0.04,t g.
(b) A concentração limite é 5 g/L e o tempo para chegar a metade desse valor é
t=25ln!l(tfrac85r)approx11,8 min

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