Seja a lei de Faraday na forma integral,
, em que
é o vetor intensidade de campo elétrico
é fluxo magnético [ Wb ]. a) 0 campo elétrico indicado na lei de Faraday é conservativo ou não-conservativo? b) Qual a fonte desse campo? c) Obtenha a forma pontual da lei de Faraday a partir da sua forma integral e aplicação do teorema de Stokes. Descreva todos os passos envolvidos, detalhando os contornos e as superfícies envolvidas.
Passo 1
O enunciado apresenta a lei de Faraday na forma integral
onde
é uma curva fechada e
é qualquer superfície aberta tal que
. O que vamos precisar: interpretação física de campo conservativo, identificação da fonte do campo induzido, e aplicação do teorema de Stokes para passar da forma integral para a forma pontual de Maxwell–Faraday.
Passo 2
Para responder se o campo
é conservativo, lembramos que um campo elétrico é conservativo se e somente se a sua circulação ao longo de qualquer curva fechada for zero. Aqui a lei de Faraday diz
e em geral
. Logo a circulação não é nula sempre, isto é,
não é conservativo.
Passo 3
A fonte desse campo não conservativo é a variação temporal do fluxo magnético
. Em outras palavras, um campo elétrico de natureza não-conservativa é gerado sempre que o campo magnético
variar no tempo.
Passo 4
Agora vamos obter a forma pontual. Começamos aplicando o teorema de Stokes à circulação de
sobre
:
Substituindo na lei de Faraday integral, obtemos
Aqui
é fixada no espaço e orientada por um vetor normal
de acordo com a regra da mão direita aplicada a
.
Passo 5
Como a superfície é fixa, podemos levar a derivada temporal para dentro da integral:
Reagrupando,
Como isso vale para qualquer superfície arbitrária
, o integrando deve ser nulo em cada ponto, levando à forma diferencial da lei de Faraday:
Passo 6
Resposta
a) O campo elétrico
nessa lei não é conservativo.
b) A fonte desse campo é a variação temporal do fluxo magnético, ou seja, .
c) A forma pontual (diferencial) da lei de Faraday é
b) A fonte desse campo é a variação temporal do fluxo magnético, ou seja,
c) A forma pontual (diferencial) da lei de Faraday é