Seja a lei de Faraday na forma integral, ointL E cdot d l=-dd t integral B cdot d S=-d psimd t, em que E é o vetor intensidade de campo elétrico [Vm], psim é fluxo magnético [ Wb ]. a) 0 campo elétrico indicado na lei de Faraday é conservativo ou não-conservativo? b) Qual a fonte desse campo? c) Obtenha a forma pontual da lei de Faraday a partir da sua forma integral e aplicação do teorema de Stokes. Descreva todos os passos envolvidos, detalhando os contornos e as superfícies envolvidas.

Passo 1

O enunciado apresenta a lei de Faraday na forma integral
ointLEcdot dl ;=; -,ddtintegralSigmaBcdot dS;=;-,dpsimdt,
onde L é uma curva fechada e Sigma é qualquer superfície aberta tal que partialSigma=L. O que vamos precisar: interpretação física de campo conservativo, identificação da fonte do campo induzido, e aplicação do teorema de Stokes para passar da forma integral para a forma pontual de Maxwell–Faraday.

Passo 2

Para responder se o campo E é conservativo, lembramos que um campo elétrico é conservativo se e somente se a sua circulação ao longo de qualquer curva fechada for zero. Aqui a lei de Faraday diz
ointLEcdot dl = -,dpsimdt,
e em geral dpsimdtneq 0. Logo a circulação não é nula sempre, isto é, E não é conservativo.

Passo 3

A fonte desse campo não conservativo é a variação temporal do fluxo magnético psim=integralSigmaBcdot dS. Em outras palavras, um campo elétrico de natureza não-conservativa é gerado sempre que o campo magnético B variar no tempo.

Passo 4

Agora vamos obter a forma pontual. Começamos aplicando o teorema de Stokes à circulação de E sobre L:
ointLEcdot dl =integralSigma(nablatimesE)cdot dS
Substituindo na lei de Faraday integral, obtemos
integralSigma(nablatimesE)cdot dS =-,ddtintegralSigmaBcdot dS
Aqui Sigma é fixada no espaço e orientada por um vetor normal n de acordo com a regra da mão direita aplicada a L.

Passo 5

Como a superfície é fixa, podemos levar a derivada temporal para dentro da integral:
integralSigma(nablatimesE)cdot dS =-integralSigmapartialBpartial tcdot dS
Reagrupando,
integralSigmal[nablatimesE +partialBpartial tr]cdot dS=0
Como isso vale para qualquer superfície arbitrária Sigma, o integrando deve ser nulo em cada ponto, levando à forma diferencial da lei de Faraday:

Passo 6

nablatimesE ;=;-,partialBpartial t

Resposta

a) O campo elétrico E nessa lei não é conservativo.
b) A fonte desse campo é a variação temporal do fluxo magnético, ou seja, partialB/partial tneq0.
c) A forma pontual (diferencial) da lei de Faraday é
nablatimesE = -,partialBpartial t

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