Resolva o PVI:
e faça um esboço do gráfico da solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI
que é a equação logística clássica. Vamos usar separação de variáveis e frações parciais para encontrar
em forma explícita.
Passo 2
Escrevemos a equação separada:
Reconhecemos que podemos decompor
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Do outro lado temos
. Reagrupando as constantes em
, obtemos
Passo 4
Multiplicando por
e exponenciando:
onde
é constante a determinar.
Passo 5
Usamos a condição inicial
:
Logo
Passo 6
Esse é o perfil logístico. Para esboçar o gráfico note que:
- Em
, . - Para
, e . - Para
, e .
O crescimento é em “S”, com inflexão aproximada onde.
Resposta
O gráfico é uma curva em “S” que parte de
para
, passa por
, tem inflexão em torno de
e tende a
quando
.