Resolva o PVI:
l d yd t=y(100-y) y(0)=1
e faça um esboço do gráfico da solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
dydt=y(100-y), y(0)=1,
que é a equação logística clássica. Vamos usar separação de variáveis e frações parciais para encontrar y(t) em forma explícita.

Passo 2

Escrevemos a equação separada:
dyy(100-y) = dt
Reconhecemos que podemos decompor
1y(100-y) = 1100,l(1y + 1100-yr)

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy(100-y) = 1100integrall(1y + 1100-yr),dy = 1100l(ln|y| - ln|100-y|r) + C
Do outro lado temos integral dt = t + C1. Reagrupando as constantes em C, obtemos
1100l(ln|y| - ln|100-y|r) = t + C

Passo 4

Multiplicando por 100 e exponenciando:
ln!l(y100-yr) = 100t + C' Longrightarrow y100-y = A,e^100t,
onde A=e^C' é constante a determinar.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1:
1100-1 = A,e^0 Longrightarrow A = 199
Logo
y100-y = 199,e^100t Longrightarrow y(t) = 1001 + 99,e^-100t

Passo 6

Esse é o perfil logístico. Para esboçar o gráfico note que:
  • Em t=0, y(0)=1.
  • Para tto -infty, e^-100tto +infty e yto 0.
  • Para tto +infty, e^-100tto 0 e yto 100.
    O crescimento é em “S”, com inflexão aproximada onde y=50.

Resposta

y(t) = 1001 + 99,e^-100t
O gráfico é uma curva em “S” que parte de yapprox0 para tto -infty, passa por (0,1), tem inflexão em torno de y=50 e tende a y=100 quando tto+infty.

Exercícios relacionados