Seja a lei de Gauss na forma integral,
, em que
é o campo vetorial densidade de fluxo elétrico
e
é carga elétrica [
]. a) Qual o significado físico da integral de um campo vetorial através de uma superfície fechada? b) Qual a informação física é obtida a partir do cálculo do fluxo líquido do campo densidade de fluxo elétrico através de uma superfície fechada? c) Supondo a existência de uma fonte do campo
(ou seja, carga elétrica), a integral
é necessariamente diferente de zero em todo o espaço? Caso não, o que significa fisicamente a situação em que
?
Passo 1
O enunciado traz a lei de Gauss na forma integral, que diz
onde
é a densidade de fluxo elétrico e
a carga total envolvida pela superfície fechada
. Vamos usar conceitos de fluxo de campo vetorial e da própria lei de Gauss para responder: a) o que fisicamente significa essa integral; b) que informação física ela nos fornece; c) se ela é sempre diferente de zero quando há carga e o que implica um fluxo nulo.
Passo 2
Para a letra (a), a integral
é matematicamente o fluxo de
através de
. Fisicamente, isso mede quantas “linhas de campo” de
estão saindo menos entrando na superfície fechada. É como contar quantos raios de campo atravessam a casca que envolve o volume interno.
Passo 3
Para a letra (b), pela lei de Gauss esse fluxo líquido é igual à carga elétrica total
dentro de
. Assim, o cálculo do fluxo nos dá exatamente o valor da carga elétrica envolvida. Em outras palavras, medindo o fluxo de
a partir de uma superfície, a gente obtém a carga líquida encerrada por ela.
Passo 4
Na letra (c), nem toda superfície em todo ponto do espaço terá fluxo diferente de zero: só aquelas que englobam carga líquida não nula. Se
significa que não há carga líquida dentro de
(ou que as cargas positivas e negativas se cancelam). Fisicamente, isso quer dizer que o número de linhas de campo que entram é igual ao que sai — logo, nenhuma fonte líquida de campo está dentro da superfície.
Resposta
a) Essa integral é o fluxo líquido do campo
através de uma superfície fechada, ou seja, o balanço entre linhas de campo que saem e entram em
.
b) Pelo teorema de Gauss, o fluxo líquido de através de
nos dá a carga elétrica total
enclausurada por
.
c) Não. Se , significa que não há carga líquida dentro de
(as fontes entrantes e sa identes se equilibram).
b) Pelo teorema de Gauss, o fluxo líquido de
c) Não. Se