Questão 3: Determine para cada uma das hipérboles: a medida dos semieixos, os vértices, os focos, a excentricidade, as equações das assíntotas e um esboço do gráfico.
a) 4 x^{2}-5 y^{2}+20=0

Passo 1

O enunciado apresenta a curva
4x^2 - 5y^2 + 20 = 0
e pede semieixos, vértices, focos, excentricidade, equações das assíntotas e um esboço do gráfico. Vamos usar a forma padrão de hipérbole e as fórmulas de a, b, c e e.

Passo 2

Reescrever em forma padrão. Da equação dada,
4x^2 - 5y^2 + 20 = 0 \;\Longrightarrow\; 4x^2 - 5y^2 = -20 \;\Longrightarrow\; 5y^2 - 4x^2 = 20.
Dividindo por 20, obtemos
\frac{y^2}{4} \;-\; \frac{x^2}{5} \;=\; 1,
que é a forma padrão \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1.

Passo 3

Identificar semieixos e vértices.
Da forma padrão temos
a^2 = 4 \;\Longrightarrow\; a = 2, \quad b^2 = 5 \;\Longrightarrow\; b = \sqrt{5}.
Como a hipérbole abre para cima e para baixo, os vértices são
(0,\pm a) = (0,\pm 2).

Passo 4

Calcular focos e excentricidade.
Para hipérbole vertical,
c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 5 = 9 \;\Longrightarrow\; c = 3.
Logo os focos são (0,\pm c) = (0,\pm 3).
A excentricidade vale
e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}.

Passo 5

Determinar as equações das assíntotas.
Para \tfrac{y^2}{a^2} - \tfrac{x^2}{b^2} = 1, as assíntotas são
y = \pm \frac{a}{b}\,x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}\,x.

Passo 6

Esboço do gráfico: hipérbole centrada em (0,0) com ramos abertos para cima e para baixo, vértices em (0,\pm2), focos em (0,\pm3) e assíntotas as retas y = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}x, formando a típica “forma de X”.

Resposta

Semieixos: a = 2, b = \sqrt{5}.
Vértices: (0,\pm2).
Focos: (0,\pm3).
Excentricidade: e = \tfrac{3}{2}.
Assíntotas: y = \pm \tfrac{2}{\sqrt{5}}\,x.
Gráfico: ramos verticais centrados na origem delimitados pelas assíntotas acima.

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