Questão 3: Determine para cada uma das hipérboles: a medida dos semieixos, os vértices, os focos, a excentricidade, as equações das assíntotas e um esboço do gráfico.
a)
a)
Passo 1
O enunciado apresenta a curva
e pede semieixos, vértices, focos, excentricidade, equações das assíntotas e um esboço do gráfico. Vamos usar a forma padrão de hipérbole e as fórmulas de a, b, c e e.
Passo 2
Reescrever em forma padrão. Da equação dada,
Dividindo por 20, obtemos
que é a forma padrão
.
Passo 3
Identificar semieixos e vértices.
Da forma padrão temos
Da forma padrão temos
Como a hipérbole abre para cima e para baixo, os vértices são
Passo 4
Calcular focos e excentricidade.
Para hipérbole vertical,
Para hipérbole vertical,
Logo os focos são
.
A excentricidade vale
A excentricidade vale
Passo 5
Determinar as equações das assíntotas.
Para , as assíntotas são
Para
Passo 6
Esboço do gráfico: hipérbole centrada em
com ramos abertos para cima e para baixo, vértices em
, focos em
e assíntotas as retas
, formando a típica “forma de X”.
Resposta
Semieixos:
,
.
Vértices: .
Focos: .
Excentricidade: .
Assíntotas: .
Gráfico: ramos verticais centrados na origem delimitados pelas assíntotas acima.
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas:
Gráfico: ramos verticais centrados na origem delimitados pelas assíntotas acima.