A transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada por
T(x, y, z, w)=\left[\begin{array}{cc} x+3 y & 2 x-z \\\ x+w & 0 \end{array}\right]
é um isomorfismo.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{4}\to M_{2}(\mathbb{R})
definida por
T(x,y,z,w)=\begin{pmatrix} x+3y & 2x - z\\\ x+w & 0 \end{pmatrix}
e pergunta se T é um isomorfismo. O conteúdo aqui é de álgebra linear: para mostrar que T é isomorfismo precisamos ver se ela é bijetora. Como \dim\mathbb{R}^4=\dim M_{2}(\mathbb{R})=4, basta verificar se T é injetora (ou, equivalentemente, tem núcleo trivial).

Passo 2

Vamos achar \ker T, ou seja, resolver
T(x,y,z,w) = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema de equações lineares:
\begin{cases} x + 3y = 0,\\\\ 2x - z = 0,\\\ x + w = 0. \end{cases}

Passo 3

Do sistema temos
z = 2x, \quad w = -x, \quad y = -\tfrac{x}{3}.
Logo o vetor (x,y,z,w)\in\ker T é
(x,\,-\tfrac{x}{3},\,2x,\,-x)=x\,(1,\,-\tfrac13,\,2,\,-1).
Como existe x\neq0 que satisfaz, o núcleo não é só o vetor zero.

Passo 4

Concluímos que \ker T tem dimensão 1 (não é trivial), logo T não é injetora. Como as dimensões são iguais, T também não pode ser sobrejetora, então não é isomorfismo.

Resposta

Falso

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