Exercício 1: Teste da Integral

Verifique a convergência da série utilizando o teste da integral:
sumn=2^infty 1n(ln n)^p, p>0
Analise para diferentes valores de p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn=2^infty 1n(ln n)^p converge ou não, usando o teste da integral. Esse teste faz parte do estudo de convergência de séries, e a gente vai precisar integrar uma função contínua, positiva e decrescente correspondente aos termos da série para ver se a integral converge. Vamos analisar isso para diferentes valores de p.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o teste da integral. Ele diz que, para uma série sumn=N^infty an, onde an = f(n), se f(x) for contínua, positiva e decrescente para x >= N, então a série converge se e somente se a integral integralN^infty f(x) , dx converge.
No nosso caso, temos an = 1n(ln n)^p. Vamos definir a função correspondente:
f(x) = 1x(ln x)^p para x >= 2
Essa função é contínua, positiva e decrescente para x >= 2, então podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral2^infty 1x(ln x)^p , dx. Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição.
Vamos usar a substituição u = ln x. Então, du = 1x dx, o que simplifica a integral:
integral 1x(ln x)^p , dx = integral 1u^p , du

Passo 4

Agora, temos que integrar integral 1u^p , du . Vamos considerar os diferentes casos para p:
  1. Se p neq 1:
integral 1u^p , du = u^1 - p1 - p + C
  1. Se p = 1:
integral 1u , du = ln |u| + C
Vamos agora avaliar a integral de 2 a infty.

Passo 5

Vamos considerar os dois casos:
  1. Para p neq 1:
integral2^infty 1x(ln x)^p , dx = (ln x)^1 - p1 - p |2^infty
Agora, vamos analisar o comportamento quando x tende ao infinito.
  • Se 1 - p < 0 (ou seja, p > 1), então (ln x)^1 - p tende a zero conforme x to infty.
  • Se 1 - p > 0 (ou seja, p < 1), então (ln x)^1 - p tende ao infinito conforme x to infty.
Portanto:
  • Para p > 1, a integral converge.
  • Para p < 1, a integral diverge.
  1. Para p = 1:
integral2^infty 1x ln x , dx = ln (ln x) |2^infty
À medida que x to infty, ln (ln x) to infty, portanto, a integral diverge.

Resposta

A série sumn=2^infty 1n(ln n)^p converge para todos os valores de p maiores que 1 e diverge para p <= 1.

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