Verifique a convergência da série utilizando o teste da integral:
Analise para diferentes valores de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou não, usando o teste da integral. Esse teste faz parte do estudo de convergência de séries, e a gente vai precisar integrar uma função contínua, positiva e decrescente correspondente aos termos da série para ver se a integral converge. Vamos analisar isso para diferentes valores de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o teste da integral. Ele diz que, para uma série , onde , se for contínua, positiva e decrescente para , então a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, temos . Vamos definir a função correspondente:
Essa função é contínua, positiva e decrescente para , então podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral . Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição.
Vamos usar a substituição . Então, , o que simplifica a integral:
Passo 4
Agora, temos que integrar . Vamos considerar os diferentes casos para :
Se :
Se :
Vamos agora avaliar a integral de a .
Passo 5
Vamos considerar os dois casos:
Para :
Agora, vamos analisar o comportamento quando x tende ao infinito.
Se 1 - p < 0 (ou seja, p > 1), então (ln x)^1 - p tende a zero conforme x to infty.
Se 1 - p > 0 (ou seja, p < 1), então (ln x)^1 - p tende ao infinito conforme x to infty.
Portanto:
Para p > 1, a integral converge.
Para p < 1, a integral diverge.
Para p = 1:
integral2^infty 1x ln x , dx = ln (ln x) |2^infty
À medida que x to infty, ln (ln x) to infty, portanto, a integral diverge.
Resposta
A série sumn=2^infty 1n(ln n)^pconverge para todos os valores de p maiores que 1 e diverge para p <= 1.