Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pede para testar se é exata; em caso negativo, encontrar fator integrante; e então achar a solução geral (e particular, se houver condição inicial). O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro colocamos em forma diferencial . Dividindo por (que nunca é zero) obtemos
Assim
Passo 3
Testamos exatidão calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.
Passo 4
Procuramos um fator integrante que dependa só de . Usamos a condição
que é função apenas de . Logo um fator integrante é
Para simplificar, tomamos (assumindo ).
Passo 5
Multiplicando por , vem
ou seja
dx ;-;tan y,dy=0
Agora
partial M^*partial y=0, partial N^*partial x=0,
logo é exata.
Passo 6
Como partialPhi/partial x=M^*=1, integramos em x:
Phi(x,y)=x + h(y)
Em seguida, como partialPhi/partial y=N^*=-tan y, temos
h'(y)=-tan y Longrightarrow h(y)=integral -tan y,dy =ln|cos y|
Portanto a função potencial é
Phi(x,y)=x + ln|cos y|
Passo 7
A solução geral vem de Phi(x,y)=C, i.e.
x + ln|cos y|=C
Podemos reescrever como
ln|cos y|=-x + C Longrightarrow |cos y|=e^C,e^-x Longrightarrow cos y=K,e^-x,
com K=pm e^C.
Resposta
A solução geral é
x + ln|cos y| = C Long<=ftrightarrow cos y = K,e^-x