Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^x(cos y-sen y d yd x)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
e^xl(cos y - sin y,dydxr)=0
e pede para testar se é exata; em caso negativo, encontrar fator integrante; e então achar a solução geral (e particular, se houver condição inicial). O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Dividindo por e^x (que nunca é zero) obtemos
cos y,dx ;-;sin y,dy=0
Assim
M(x,y)=cos y, N(x,y)=-sin y

Passo 3

Testamos exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=-sin y, partial Npartial x=0
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 4

Procuramos um fator integrante que dependa só de y. Usamos a condição
partial N/partial x - partial M/partial yM =0-(-sin y)cos y =tan y,
que é função apenas de y. Logo um fator integrante é
mu(y) =exp!l(integral tan y,dyr) =expl(-ln|cos y|r) =1|cos y|
Para simplificar, tomamos mu(y)=1/cos y (assumindo cos yneq0).

Passo 5

Multiplicando M,dx+N,dy=0 por mu(y)=1/cos y, vem
underbracecos ycos yM^*,dx ;+; underbrace-sin ycos yN^*,dy =0,
ou seja
dx ;-;tan y,dy=0
Agora
partial M^*partial y=0, partial N^*partial x=0,
logo é exata.

Passo 6

Como partialPhi/partial x=M^*=1, integramos em x:
Phi(x,y)=x + h(y)
Em seguida, como partialPhi/partial y=N^*=-tan y, temos
h'(y)=-tan y Longrightarrow h(y)=integral -tan y,dy =ln|cos y|
Portanto a função potencial é
Phi(x,y)=x + ln|cos y|

Passo 7

A solução geral vem de Phi(x,y)=C, i.e.
x + ln|cos y|=C
Podemos reescrever como
ln|cos y|=-x + C Longrightarrow |cos y|=e^C,e^-x Longrightarrow cos y=K,e^-x,
com K=pm e^C.

Resposta

A solução geral é
x + ln|cos y| = C Long<=ftrightarrow cos y = K,e^-x

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