Prove que:
sen 2 x=2 sen x cdot cos x

Passo 1

O enunciado pede para provar a chamada identidade do ângulo duplo para o seno, ou seja, mostrar que
sin(2x)=2,sin x,cos x
O conteúdo principal é a fórmula de adição de ângulos em trigonometria, que permite expressar sin(a+b) em função de sin e cos de a e b.

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula de adição de ângulos para o seno. Para quaisquer alpha e beta vale
sin(alpha+beta)=sinalpha;cosbeta+cosalpha;sinbeta
Essa fórmula pode ser obtida geometricamente no círculo unitário ou via séries de Taylor/Euler, mas aqui basta aceitá-la como identidade básica.

Passo 3

Agora escolhemos alpha=x e beta=x. Substituindo na fórmula de adição:
sin(x+x)=sin x;cos x+cos x;sin x
No lado direito temos duas parcelas iguais, então somam-se para dar o dobro:

Passo 4

Portanto
sin(2x)=sin(x+x)=sin x,cos x+sin x,cos x=2,sin x,cos x,
que é exatamente a identidade que queríamos provar.

Resposta

sin(2x)=2,sin x,cos x

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