Exercício 2-6: Transforme as formas quadráticas nas suas direções principais:
[ll x1 & x2 ] cdot[cc 17 & -15 -15 & 17 ] cdot[l x1 x2 ]=28

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma forma quadrática nas suas direções principais. Basicamente, isso significa encontrar uma maneira de reescrever a equação de forma que ela fique mais simples, alinhando-a com os eixos principais. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, autovalores e autovetores. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados, vou te explicar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz da forma quadrática que temos:
A = 17 & -15 -15 & 17
Para encontrar as direções principais, precisamos calcular os autovalores dessa matriz. Autovalores são números que nos dizem como a matriz “escala” nos diferentes vetores.

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos a seguinte equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde lambda são os autovalores e I é a matriz identidade. Calculando:
det( 17 - lambda & -15 -15 & 17 - lambda ) = 0
Calculando o determinante:
(17 - lambda)^2 - (-15)^2 = 0 (17 - lambda)^2 - 225 = 0 (17 - lambda) = pm 15
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 17 - 15 = 2 lambda2 = 17 + 15 = 32

Passo 4

Agora que temos os autovalores lambda1 = 2 e lambda2 = 32 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para lambda1 = 2 :
(A - 2I)v = 0 15 & -15 -15 & 15 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação:
15v1 - 15v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Um autovetor correspondente pode ser v = 1 1 .
Para lambda2 = 32 :
(A - 32I)v = 0 -15 & -15 -15 & -15 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá:
-15v1 - 15v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2
Um autovetor correspondente pode ser v = 1 -1 .

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos reescrever a forma quadrática nas suas direções principais. Vamos chamar as novas coordenadas de y1 e y2 alinhadas com os autovetores.
A forma quadrática original era:
x1 & x2 17 & -15 -15 & 17 x1 x2 = 28
Após a transformação, ela fica:
2y1^2 + 32y2^2 = 28

Resposta

A forma quadrática nas suas direções principais é:
2y1^2 + 32y2^2 = 28

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