(Transformações geométricas em R^2 ) Determine a matriz e a transformação linear associada, que:
reflete os vetores em torno da reta y=-x.

Passo 1

O enunciado pede a reflexão de vetores de R^2 em torno da reta y=-x. Este é um problema de transformações lineares geométricas e, para resolvê-lo, usaremos a fórmula geral da matriz de reflexão em torno de uma reta que passa pela origem.

Passo 2

Para qualquer reta que passa pela origem, a matriz de reflexão pode ser escrita como
P = I - 2,n,n^T
onde n é um vetor normal unitário à reta refletora e I é a matriz identidade 2times2.

Passo 3

A reta y=-x possui vetor normal 11. Para torná-lo unitário, definimos
n = 1raiz211
Em seguida calculamos
n,n^T = 121 & 1 1 & 1

Passo 4

Substituindo em P = I - 2,n,n^T, obtemos
P = 1 & 0 0 & 1 - 1 & 1 1 & 1 = 0 & -1 -1 & 0

Passo 5

A transformação linear reflexiva T associada a esta matriz atua em (x,y) por
T(x,y) = 0 & -1 -1 & 0x y = -y -x

Resposta

A matriz da reflexão em torno da reta y=-x é
0 & -1 -1 & 0
e a transformação linear correspondente é
T(x,y) = (-y,,-x)

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