Sabendo que T: R^2 R é um funcional linear tal que f(1,1)=3 e f(2,3)=1 calcule f(1,0) e f(0,1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um funcional linear T: R^2 R (que a gente pode pensar como uma função que recebe dois números reais e retorna um número real). Sabemos que:
  • f(1,1) = 3
  • f(2,3) = 1
E o que a gente precisa encontrar são os valores de f(1,0) e f(0,1) . Para resolver isso, vamos usar propriedades de funções lineares e montar um sistema de equações para descobrir os valores desconhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como uma função linear em duas variáveis se comporta. Uma função linear f(x, y) pode ser escrita como:
f(x, y) = a cdot x + b cdot y
Onde a e b são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que a questão nos deu para montar um sistema de equações. Sabemos que:
  1. Quando x = 1 e y = 1 , f(1,1) = 3 . Substituindo na fórmula:
a cdot 1 + b cdot 1 = 3 Rightarrow a + b = 3 (Equação 1) çã
  1. Quando x = 2 e y = 3 , f(2,3) = 1 . Substituindo:
a cdot 2 + b cdot 3 = 1 Rightarrow 2a + 3b = 1 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora temos o seguinte sistema de equações:
a + b = 3 (Equação 1) 2a + 3b = 1 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b .

Passo 5

Vamos resolver pela substituição. Da Equação 1, podemos expressar a em função de b :
a = 3 - b
Agora, substituímos esse valor na Equação 2:
2(3 - b) + 3b = 1
Simplificando:
6 - 2b + 3b = 1 6 + b = 1 b = 1 - 6 b = -5

Passo 6

Agora que temos o valor de b , voltamos à Equação 1 para encontrar a :
a + (-5) = 3 a = 3 + 5 a = 8

Passo 7

Com os valores de a e b encontrados, podemos escrever a expressão completa da função f(x, y) :
f(x, y) = 8x - 5y
Agora, é só substituir os valores que queremos encontrar.

Resposta

f(1,0) = 8 e f(0,1) = -5

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