Sabendo que é um funcional linear tal que e calcule e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um funcional linear (que a gente pode pensar como uma função que recebe dois números reais e retorna um número real). Sabemos que:
E o que a gente precisa encontrar são os valores de e . Para resolver isso, vamos usar propriedades de funções lineares e montar um sistema de equações para descobrir os valores desconhecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como uma função linear em duas variáveis se comporta. Uma função linear pode ser escrita como:
Onde e são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos usar as informações que a questão nos deu para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Quando e , . Substituindo na fórmula:
Quando e , . Substituindo:
Passo 4
Agora temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b .
Passo 5
Vamos resolver pela substituição. Da Equação 1, podemos expressar a em função de b :
a = 3 - b
Agora, substituímos esse valor na Equação 2:
2(3 - b) + 3b = 1
Simplificando:
6 - 2b + 3b = 1 6 + b = 1 b = 1 - 6 b = -5
Passo 6
Agora que temos o valor de b , voltamos à Equação 1 para encontrar a :
a + (-5) = 3 a = 3 + 5 a = 8
Passo 7
Com os valores de a e b encontrados, podemos escrever a expressão completa da função f(x, y) :
f(x, y) = 8x - 5y
Agora, é só substituir os valores que queremos encontrar.