Exercício 6: Um tubo de 2 cm de diâmetro tem a parede mantida à temperatura de 90^{\circ} \mathrm{C}. Água saturada entra no tubo a uma temperatura média de 40^{\circ} \mathrm{C} saindo a uma temperatura média de 60^{\circ} \mathrm{C}. Se a água entra com velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule o comprimento do tubo necessário para o aquecimento nas seguintes condições:
Tubo rugoso com rugosidade relativa igual a 0,001 .

Passo 1

O enunciado dá um tubo de diâmetro D=2{\,\mathrm{cm}} com a parede mantida a 90{\,^\circ\mathrm C}. Água saturada entra a 40{\,^\circ\mathrm C} e sai a 60{\,^\circ\mathrm C} com velocidade v=3{\,\mathrm{m/s}}. Queremos o comprimento L necessário para esse aquecimento.
Conteúdo: transferência de calor convectiva interna em escoamento turbulento. Vamos precisar de correlações para determinar o coeficiente global de transferência de calor por convecção h e então aplicar o balanço de energia com temperatura de parede constante.

Passo 2

Escolhemos a temperatura média do escoamento
T_b=\frac{40+60}{2}=50{\,^\circ\mathrm C}
e tomamos propriedades da água a 50{\,^\circ\mathrm C}:
\rho\approx988{\,\mathrm{kg/m^3}},
\mu\approx5{,}5\times10^{-4}{\,\mathrm{Pa\cdot s}},
k\approx0{,}64{\,\mathrm{W/m\cdot K}},
c_p\approx4180{\,\mathrm{J/kg\cdot K}}.
Calculamos o número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu} =\frac{988\cdot3\cdot0{,}02}{5{,}5\times10^{-4}}\approx1{,}08\times10^{5}
e o número de Prandtl
\mathrm{Pr}=\frac{c_p\,\mu}{k} =\frac{4180\cdot5{,}5\times10^{-4}}{0{,}64}\approx3{,}6.

Passo 3

Como o tubo é rugoso ( \epsilon/D=0{,}001), usamos a fórmula de Haaland para obter o fator de atrito f:
\frac1{\sqrt f}=-1{,}8\log_{10}\!\Bigl[(\tfrac{\epsilon/D}{3{,}7})^{1{,}11}+\frac{6{,}9}{\mathrm{Re}}\Bigr]
Substituindo \epsilon/D=0{,}001 e \mathrm{Re}=1{,}08\times10^5 achamos
f\approx0{,}022.

Passo 4

Para fluxo turbulento e parede lisa ou rugosa, a correlação de Gnielinski dá
\mathrm{Nu} =\frac{f/8\;(\mathrm{Re}-1000)\,\mathrm{Pr}} {1+12{,}7\sqrt{\tfrac f8}\,(\mathrm{Pr}^{2/3}-1)}.
Com f=0{,}022, \mathrm{Re}=1{,}08\times10^5, \mathrm{Pr}=3{,}6, obtemos aproximadamente
\mathrm{Nu}\approx555.
Então o coeficiente convectivo é
h=\frac{\mathrm{Nu}\;k}{D} =\frac{555\cdot0{,}64}{0{,}02}\approx1{,}78\times10^4{\,\mathrm{W/m^2\!K}}.

Passo 5

A vazão mássica é
\dot m=\rho\,A\,v =\rho\;\Bigl(\frac{\pi D^2}{4}\Bigr)\,v =988\;\frac{\pi(0{,}02)^2}{4}\;3 \approx0{,}93{\,\mathrm{kg/s}}.
O perímetro interno do tubo é
P=\pi D\approx\pi\cdot0{,}02\approx0{,}0628{\,\mathrm m}.

Passo 6

Com parede a temperatura constante, o balanço de energia fornece
L =\frac{\dot m\,c_p}{h\,P} \ln\!\biggl(\frac{T_w-T_{\rm in}}{T_w-T_{\rm out}}\biggr)
onde T_w=90{\,^\circ\mathrm C}, T_{\rm in}=40{\,^\circ\mathrm C}, T_{\rm out}=60{\,^\circ\mathrm C}. Substituindo
L =\frac{0{,}93\cdot4180}{1{,}78\times10^4\cdot0{,}0628} \ln\!\Bigl(\frac{90-40}{90-60}\Bigr) \approx1{,}78{\,\mathrm m}.

Resposta

O comprimento do tubo necessário é aproximadamente 1,8{\,\mathrm m}.

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