Exercício 6: Um tubo de 2 cm de diâmetro tem a parede mantida à temperatura de 90^{\circ} \mathrm{C}. Água saturada entra no tubo a uma temperatura média de 40^{\circ} \mathrm{C} saindo a uma temperatura média de 60^{\circ} \mathrm{C}. Se a água entra com velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule o comprimento do tubo necessário para o aquecimento nas seguintes condições:
Tubo liso.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento L de um tubo liso de diâmetro interno D=0{,}02\\ \mathrm{m} para elevar a temperatura média da água de T_{\mathrm{in}}=40\\ ^\circ\mathrm{C} até T_{\mathrm{out}}=60\\ ^\circ\mathrm{C}, sabendo que a parede está mantida em T_{w}=90\\ ^\circ\mathrm{C} e a velocidade do escoamento é u=3\\ \mathrm{m/s}.
Conteúdo: transferência de calor por convecção interna forçada em tubo circular. Vamos usar correlação de Dittus–Boelter para escoamento turbulento e integrar a equação de energia diferencial para obter L.

Passo 2

Calcular área da seção, perímetro molhado e vazão mássica:
A área hidráulica é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}02)^2}{4} = 3{,}14\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
O perímetro molhado é
P = \pi D = \pi \times 0{,}02 = 6{,}283\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
A vazão mássica é
\dot m = \rho\,A\,u.
Tomando propriedades da água a 50\\ ^\circ\mathrm{C} (temperatura média do fluido):
\rho=988\\ \mathrm{kg/m^3}, c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \mu=5{,}47\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, k=0{,}643\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Assim
\nu = \frac{\mu}{\rho} = 5{,}54\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s},
\dot m = 988\times3{,}14\times10^{-4}\times3 = 0{,}931\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Determinar o número de Reynolds e verificar regime:
\mathrm{Re} = \frac{u\,D}{\nu} = \frac{3\times0{,}02}{5{,}54\times10^{-7}} \approx 1{,}09\times10^5,
que é turbulento ( \mathrm{Re}>4000). Usamos então a correlação de Dittus–Boelter para aquecimento do fluido:
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4},
onde
\mathrm{Pr} = \dfrac{\mu\,c_p}{k} = \dfrac{5{,}47\times10^{-4}\times4180}{0{,}643}\approx3{,}55.

Passo 4

Calcular \mathrm{Nu} e coeficiente de filmagem h:
\mathrm{Nu} = 0{,}023\times(1{,}09\times10^5)^{0{,}8}\times(3{,}55)^{0{,}4} \approx 411,
h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D} = \frac{411\times0{,}643}{0{,}02} \approx1{,}32\times10^4\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 5

Escrever a equação de balanço de energia para um elemento de comprimento dx:
\dot m\,c_p\,dT = h\,P\,(T_w - T)\,dx.
Rearranjando e integrando de x=0 ( T=T_{\mathrm{in}}) até x=L ( T=T_{\mathrm{out}}):
\int_{T_{\mathrm{in}}}^{T_{\mathrm{out}}}\frac{dT}{T_w - T} = \frac{h\,P}{\dot m\,c_p}\int_{0}^{L}dx.
A integral em T
\ln\frac{T_w - T_{\mathrm{in}}}{T_w - T_{\mathrm{out}}} = \frac{h\,P}{\dot m\,c_p}\,L.

Passo 6

Isolar L e calcular numericamente:
L = \frac{\dot m\,c_p}{h\,P} \ln\!\biggl(\frac{T_w - T_{\mathrm{in}}}{T_w - T_{\mathrm{out}}}\biggr).
Substituindo números:
\ln\frac{90-40}{90-60} = \ln\frac{50}{30} = 0{,}5108,
\dot m\,c_p = 0{,}931\times4180 = 3894\\ \mathrm{W/K}, \quad h\,P = 1{,}32\times10^4 \times 6{,}283\times10^{-2} = 830{,}2\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
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L = \frac{3894}{830{,}2}\times0{,}5108 \approx2{,}40\\ \mathrm{m}.

Resposta

O comprimento necessário do tubo é aproximadamente 2{,}4\\ \mathrm{m}.

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