Exercício 6. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada, aleatoriamente, dessa urna e não é reposta. Em seguida, duas bolas de cor diferente da bola extraída anteriormente (branca ou vermelha) são colocadas na urna. Se uma segunda bola é extraída aleatoriamente, qual é a probabilidade de:
a) A segunda bola ser vermelha? ( \mathrm{R}: 41 / 72 )
b) A segunda bola ser da mesma cor da primeira? (R: 13/36)

Passo 1

O enunciado dá uma urna com 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é extraída sem reposição. Depois dessa primeira extração, colocam-se na urna duas bolas da cor diferente da bola retirada (ou seja: se a primeira foi vermelha, adicionam-se duas brancas; se a primeira foi branca, adicionam-se duas vermelhas). Em seguida, faz-se uma segunda extração aleatória.
As perguntas são:
a) Qual a probabilidade da segunda bola ser vermelha?
b) Qual a probabilidade da segunda bola ter a mesma cor da primeira?
Informações relevantes listadas:
  • Número inicial de vermelhas: 5.
  • Número inicial de brancas: 3.
  • Primeira extração é sem reposição.
  • Após a primeira extração, adicionam-se duas bolas da cor oposta à da primeira extraída.
  • A segunda extração é aleatória entre as bolas que ficaram na urna após a adição.

Passo 2

Vamos organizar as possibilidades da primeira extração e calcular probabilidades condicionais. Este é um problema típico para usar a regra da probabilidade total: quando um evento (a segunda extração) depende de qual caso ocorreu na primeira extração, calculamos uma soma ponderada pelas probabilidades dos casos da primeira extração.
Primeiro achamos as probabilidades da primeira extração:
P(\text{primeira vermelha})=\frac{5}{8},\qquad P(\text{primeira branca})=\frac{3}{8}.
Agora determinamos a composição da urna antes da segunda extração em cada caso.
Caso 1: a primeira foi vermelha.
  • Depois de retirar uma vermelha: vermelhas ficam 5-1=4, brancas 3.
  • Adicionam-se duas brancas (cor diferente da primeira): brancas passam a 3+2=5.
  • Totais antes da segunda extração: vermelhas 4, brancas 5, total 9.
    Portanto a probabilidade de tirar uma vermelha na segunda dado que a primeira foi vermelha é
P(\text{2ª vermelha}\mid \text{1ª vermelha})=\frac{4}{9}.ªª
Caso 2: a primeira foi branca.
  • Depois de retirar uma branca: vermelhas 5, brancas 3-1=2.
  • Adicionam-se duas vermelhas: vermelhas passam a 5+2=7.
  • Totais antes da segunda extração: vermelhas 7, brancas 2, total 9.
    Portanto
P(\text{2ª vermelha}\mid \text{1ª branca})=\frac{7}{9}.ªª

Passo 3

Agora aplicamos a regra da probabilidade total para a pergunta (a): a segunda bola ser vermelha. A fórmula é
P(\text{2ª vermelha})=P(\text{1ª vermelha})\cdot P(\text{2ª vermelha}\mid \text{1ª vermelha})+P(\text{1ª branca})\cdot P(\text{2ª vermelha}\mid \text{1ª branca}).ªªªªªªª
Substituindo os valores que achamos:
P(\text{2ª vermelha})=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{9}+\frac{3}{8}\cdot\frac{7}{9}.ª
Fazendo as multiplicações no numerador e somando sobre o mesmo denominador:
P(\text{2ª vermelha})=\frac{20}{72}+\frac{21}{72}=\frac{41}{72}.ª

Passo 4

Para a pergunta (b) — a segunda bola ter a mesma cor da primeira — usamos a mesma ideia: somamos as probabilidades condicionais dos dois casos em que a segunda é igual à primeira.
Se a primeira foi vermelha, já vimos que a probabilidade da segunda também ser vermelha é \dfrac{4}{9}.
Se a primeira foi branca, precisamos de P(\text{2ª branca}\mid \text{1ª branca})ªª. No Caso 2, antes da segunda extração havia 2 brancas e 7 vermelhas, total 9, logo
P(\text{2ª branca}\mid \text{1ª branca})=\frac{2}{9}.ªª
Aplicando a probabilidade total para “segunda tem mesma cor da primeira”:
P(\text{mesma cor})=P(\text{1ª vermelha})\cdot P(\text{2ª vermelha}\mid \text{1ª vermelha})+P(\text{1ª branca})\cdot P(\text{2ª branca}\mid \text{1ª branca}).ªªªªªª
Substituindo:
P(\text{mesma cor})=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{9}+\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{9}=\frac{20}{72}+\frac{6}{72}=\frac{26}{72}.
Simplificando a fração \dfrac{26}{72} dividindo numerador e denominador por 2:
P(\text{mesma cor})=\frac{13}{36}.

Passo 5

Pequena checagem rápida (opcional, só para nos tranquilizar): a probabilidade de cores diferentes deve ser complementar de “mesma cor”. Temos 1-\dfrac{13}{36}=\dfrac{23}{36}. Se calcularmos direto “cores diferentes” obtendo \dfrac{46}{72}=\dfrac{23}{36}, bate — sinal de que os cálculos estão consistentes.

Resposta

a) \dfrac{41}{72}
b) \dfrac{13}{36}

Exercícios relacionados