Exercício 4.7. Uma urna contém inicialmente 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Cada vez que uma bola é selecionada, sua cor é anotada e ela é recolocada na urna juntamente com 2 outras bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que
as duas primeiras sejam brancas e a terceira seja branca.
as duas primeiras sejam brancas e a terceira seja branca.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma urna com inicialmente 3 bolas brancas e 4 bolas pretas, totalizando 7 bolas. A cada vez que tiramos uma bola, anotamos a cor e devolvemos na urna junto com mais 2 bolas da mesma cor. Precisamos calcular a probabilidade de que as duas primeiras bolas tiradas sejam brancas e a terceira também seja branca.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade dependente, já que a composição da urna muda a cada retirada.
Passo 2
Primeira retirada:
- Número de bolas brancas: 3
- Número de bolas pretas: 4
- Total de bolas na urna: 7
A probabilidade de tirar uma bola branca na primeira tentativa é o número de bolas brancas dividido pelo total de bolas:
Passo 3
Segunda retirada:
Após a primeira retirada, devolvemos a bola branca e adicionamos mais 2 bolas brancas. Então:
- Número de bolas brancas agora: 3 + 2 = 5
- Número de bolas pretas permanece: 4
- Total de bolas na urna: 5 + 4 = 9
A probabilidade de tirar outra bola branca na segunda tentativa é:
Passo 4
Terceira retirada:
Depois da segunda retirada, devolvemos a bola branca e adicionamos mais 2 bolas brancas novamente. Então:
- Número de bolas brancas agora: 5 + 2 = 7
- Número de bolas pretas permanece: 4
- Total de bolas na urna: 7 + 4 = 11
A probabilidade de tirar uma terceira bola branca é:
Passo 5
Calculando a probabilidade total:
Como queremos que todas as três retiradas sejam brancas, multiplicamos as probabilidades de cada etapa:
Vamos simplificar:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 21:
Resposta
A probabilidade de que as duas primeiras bolas sejam brancas e a terceira também seja branca é
.