(2,0 pontos) Uma variável aleatória contínua X tem a seguinte função densidade de probabilidade ( f d p ):
f(x)=l 2 x, se 0 <= x <= 1 0, caso contrário á
Encontre P(0.5 <= X <= 1).

Passo 1

Beleza, vamos ao problema! Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (fdp) definida por:
X á
Queremos encontrar a probabilidade de $ X $ estar entre 0.5 e 1, ou seja, $ P(0.5 \leq X \leq 1) $. Para isso, vamos usar o conceito de integração da função densidade em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma variável contínua $ X $, a probabilidade de $ X $ estar entre dois valores $ a $ e $ b $ é dada pela integral da função densidade $ f(x) $ de $ a $ a $ b $:
X
No nosso caso, $ a = 0.5 $ e $ b = 1 $, então:
X

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ 2x $ em relação a $ x $ é:
2x
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 0.5 a 1:
P(0.5 <= X <= 1) = [ x^2 ]0.5^1 = (1)^2 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75

Resposta

A probabilidade de $ X $ estar entre 0.5 e 1 é 0.75.

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